Sistemas de controle lineares em R^n e aplicações

Abstract

Resumo : Este trabalho tem como objetivo desenvolver a teria de controle nos espaços Rn para controles sem restrição. Esta teoria é uma área importante da Matemática e tem aplicações em engenharias, finanças, física, química e outras áreas da Ciência. Inicialmente, buscamos relembrar alguns pré-requisitos de Álgebra Linear e as Equações Diferenciais Ordinárias que são essenciais para o desenvolvimento do trabalho. Após, introduzimos os sistemas de controle linear como uma família de equações diferenciais. Em sequência, apresentamos o conceito de observabilidade e condições que garantam que o sistema de controle é observável. Depois, trabalhamos com o conceito de controlabilidade e nele apresentamos condições de controlabilidade para sistemas de controle que dependam ou não do tempo. Ainda, para sistemas de controle sem dependência temporal, apresentamos o conceito de controle ótimo e resultados que permitam encontrá-los, bem como o valor mínimo da função custo associada a esse sistema linear. Por fim, trabalhamos com cinco aplicações distintas, as quais modelam problemas reais, para estudar os conceitos de observabilidade, controlabilidade e controle ótimo

Abstract : This work aims to develop control theory in Rn spaces for unconstrained controls. This theory is an important area of Mathematics and has applications in engineering, finance, physics, chemistry, and other fields of Science. Initially, we seek to review some prerequisites of Linear Algebra and Ordinary Differential Equations that are essential for the development of the work. Afterwards, we introduce the linear control systems as a family of differential equations. Next, we present the concept of observability and conditions that ensure the control system is observable. Then, we work with the concept of controllability and present controllability conditions for control systems, whether they depend on time or not. Additionally, for control systems without temporal dependence, we introduce the concept of optimal control and results that allow us to find them, as well as the minimum value of the cost function associated with this linear system. Finally, we work with five distinct applications that model real problems to study the concepts of observability, controllability, and optimal control