Uma abordagem geométrica para a construção de funções logarítmicas e exponenciais

Abstract

Resumo: O objetivo desta dissertacao e apresentar a funcao logarítmica e, a partir dela, a funcao exponencial, utilizando-se conceitos fundamentais e uma abordagem geometrica atraves da hiperbole de equacao y = 1 / x, contando-se ainda com o auxílio de conceitos de Analise Real. Para isso, elaborou-se a funçcãao logarítmica partindo-se da sua definicçãao. A seguir, estudou-se a íarea sob a hiperbole no 1o quadrante, que resulta numa importante propriedade descoberta no seculo XVII pelo padre jesuíta Grégoire de Saint-Vincent, que define faixas da hiperbole com áreas iguais. Baseando-se nesta propriedade, o tambem padre jesuíta Alphonse Antonio de Sarasa, discípulo de Saint-Vincent, encontrou uma relacçãao logarítmica entre as abscissas que delimitam as faixas da hipíerbole e as aíreas destas faixas, dando origem ao conceito de logaritmo natural e, consequentemente, à funçao logarítmica y = ln x . Utilizando-se a hiperbole e o logaritmo natural, define-se o numero e . Na sequencia, verifica-se que y = ex e a inversa de y = ln x , e, portanto, uma funcão exponencial. Atraves da mudança de base de logaritmos, obtem-se a funcão y = loga x de base a = e , com particular atenção ao estudo dos logaritmos decimais. Baseando-se na definicao, obtem-se a funçao exponencial y = ax , com a = e. Por fim, e demonstrado o limite classico lim (1 + 1 /n )n = e . Devido à utilizacao de sequencias, series e n——+ ^ limites ao longo deste trabalho, fez-se necessario o estudo de Analise Real.

Abstract: The aim of this thesis is to present the logarithmic function and, from it, the exponential function, using fundamental concepts and a geometric approach through the hyperbola f (x) = 1 / x , also by counting on the aid of concepts of Real Analysis. For this, the logarithmic function was elaborated starting from its definition. Next, the area under the 1st quadrant of the hyperbola was studied, which results in an important property discovered in the 17th century by the Jesuit priest Gregoire de Saint-Vincent, which defines bands of the hyperbola with equal areas. Based on this property, the Jesuit priest Alphonse Antonio de Sarasa, a disciple of Saint-Vincent, found a logarithmic relation between the abscissas that delimit the bands of the hyperbola and the areas of these bands, giving rise to the concept of natural logarithm and, consequently, to the logarithmic function y = ln x . Using the hyperbola and the natural logarithm, the number e is defined. Next, it is verified that y = ex is the inverse of y = ln x , and, therefore, an exponential function. By changing the base of logarithms, the function y = loga x with base a = e is obtained, with particular attention to the study of decimal logarithms. Based on the definition, the exponential function y = ax is elaborated, with a = e. Finally, the classical limit lim (1 + 1/n)n = e is demonstrated. Due to the use n——+ ^ of sequences, series and limits throughout this work, it was necessary to study Real Analysis.