Hipoeliticidade em classes de funções ultradiferenciáveis no toro

Abstract

Resumo: O principal tema desta tese é a hipoeliticidade global no contexto ultradiferenciável de sistemas de operadores lineares. De modo geral, o trabalho está dividido em três partes. Na primeira, apresentamos o ambiente funcional no qual trabalharemos: definimos tanto os espaços de funções ultradiferenciáveis no toro como os seus respectivos duais (ultradistribuições), e desenvolvemos a Análise de Fourier, sendo assim capazes de exibir algumas aplicações. No segundo segmento, caracterizamos hipoeliticidade global para uma classe de sistemas sobredeterminados de campos vetoriais complexos. No último terço do trabalho, após definir uma classe de operadores pseudodiferenciais, trabalhamos com sistemas denominados "com perda de derivadas" e mostramos que estes não só são globalmente hipoelíticos, mas também preservam a propriedade para certos tipos de perturbação. Além disso, tratamos brevemente da resolubilidade do transposto de um sistema hipoelítico. Palavras-chaves: Classes Ultradiferenciáveis; Análise de Fourier; Hipoeliticidade Global; Sistemas Sobredeterminados; Perturbações.

Abstract: The main subject of study of this dissertation is global hypoellipticity in the ultradifferentiable setting for systems of linear operators. Generally speaking, this manuscript is divided into three parts. In the first one we introduce the functional environment where we will be working at: we set the spaces of ultradifferentiable functions, as well as their topological duals (composed by ultradistributions) and, after developing Fourier Analysis, we are able to exhibit some applications. Next we characterize global hypoellipticity for a class of overdetermined systems of complex vector fields. In the last third we define a class of pseudodifferential operators and work with a subclass denominated "with loss of derivatives", which we prove to be not only globally hypoelliptic, but also to preserve such property for certain perturbations. Last, we deal briefly with the solvability for the transposed of a hypoelliptic system. Keywords: Ultradifferentiable Classes; Fourier Analysis; Global Hypoellipticity; Overdetermined Systems; Perturbations