Convolução entre as distribuições Poisson e Gamma para o cálculo da perda agregada máxima

Abstract

Resumo : Convolução é um termo estatístico que designa a função soma entre variáveis aleatórias. A convolução entre variáveis aleatórias com distribuições de Poisson e Gamma costuma ser chamada de distribuição Tweedie e tem ampla aplicação em vários campos da ciência, como em meteorologia, agricultura, saúde, investimentos e seguros, dentre outros. Neste artigo, focou-se, especificamente, na estimação da perda agregada máxima em um portfólio de riscos, representado pela carteira do seguro de automóvel. A perda agregada máxima representa o montante de indenizações suportável por uma cessionária de riscos dentro de um intervalo de tempo previamente fixado. Neste contexto a convolução entre variáveis aleatórias aparece de forma natural, uma vez que o custo do segurado é uma função do número (frequência) de sinistros modelado pela distribuição de Poisson e a severidade (custo) de cada sinistro modelado pela distribuição Gamma. Trabalhou-se com um banco de dados, disponibilizado pela Superintendência de Seguros Privados - SUSEP, cobrindo os anos de 2015 a 2019, compreendendo 16,4 milhões de registros. A solução está baseada em algoritmos desenvolvidos nas linguagens de programação SAS e Python, simulando múltiplos cenários, funções dos parâmetros das distribuições de probabilidade de Poisson e Gamma, havendo sido os referidos parâmetros estimados a partir do método da máxima verossimilhança. Na aplicação em foco, trabalhou-se com as seguintes variáveis atuariais: exposição, número de sinistros, indenizações incorridas, importâncias seguradas expostas, além das frequências de sinistros, severidade, prêmios de risco e carregamento de oscilação de risco. O resultado final é uma distribuição de probabilidade aproximada para a variável perda agregada máxima. Tal distribuição permite obter um intervalo de confiança para esta quantidade que é fundamental dentro do contexto de segurados e que é obtido como uma função não trivial dos parâmetros dos modelos Poisson e Gamma.

Abstract : Convolution is a statistical term that designates the sum function between random variables. The convolution between random variables with Poisson and Gamma distributions is often called the Tweedie distribution and has wide application in several fields of science, such as meteorology, agriculture, health, investments and insurance, among others. In this article, we specifically focused on estimating the maximum aggregate loss in a risk portfolio, represented by the auto insurance portfolio. The maximum aggregate loss represents the amount of indemnities bearable by a risk assignee within a previously fixed time interval. In this context, the convolution between random variables appears naturally, since the insured cost is a function of the number (frequency) of claims modeled by the Poisson distribution and the severity (cost) of each claim modeled by the Gamma distribution. We worked with a data bank, made available by the Superintendency of Private Insurance - SUSEP, covering the years 2015 to 2019, comprising 16.4 million records. The solution is based on algorithms developed in the programming languages SAS and Python, simulating multiple scenarios, functions of the parameters of the Poisson and Gamma probability distributions, and these parameters were estimated using the maximum likelihood method. In the application in focus, we worked with the following financial variables: exposure, number of claims, indemnities incurred, insured amounts exposed, in addition to the frequency of claims, severity, risk premiums and risk fluctuation loading. The final result is an approximate probability distribution for the variable maximum aggregate loss. Such distribution allows obtaining a confidence interval for this quantity, which is fundamental within the unsafe context and which is obtained as a non-trivial function of the parameters of the Poisson and Gamma models.