Índice de Maslov para Estruturas de Cartan-Dirac

Abstract

Resumo: O objetivo desta dissertação é propor uma definição para o Índice de Maslov, onde consideramos o contexto de um espaço vetorial split, isto é, um espaço vetorial munido de uma forma bilinear simétrica split, ao invés de um espaço vetorial simplético. Para tanto, primeiramente apresentamos alguns resultados fundamentais sobre os espaços vetoriais split, com o intuito de generalizar o conceito e propriedades de subespaços isotrópicos maximais. Uma vez apresentada tal definição, somos capazes de introduzir, à chamada, Grassmanniana Lagrangiana relativa à um espaço vetorial split, que consiste do conjunto de todos os subespaços isotrópicos maximais, e como feito no caso simplético, mostraremos que tal conjunto possui uma estrutura de variedade homogênea, entre outras propriedades. Por fim, propomos uma definição para o Índice de Maslov para curvas contínuas sobre essa nova Grassmanniana Lagrangiana. E por consequência seremos capazes de propor uma definição para Índice de Maslov relativo a uma estrutura de Cartan-Dirac. Palavras-chave: Grassmanniana Lagrangiana; Índice de Maslov; Estrutura de Cartan-Dirac.

Abstract: The aim of this dissertation is to propose a definition for the Maslov Index, where we consider the context of a split vector space, that is, a vector space provided with a symmetrical bilinear form that is split , rather than a symplectic vector space. Therefore, we first present some fundamental results about split vector spaces, in order to generalize the concept and properties of maximal isotropic subspaces. Once this definition is presented, we introduce the set of all maximal isotropic subspaces, called Lagrangian Grassmannian, and as done in the symplectic case, we will show that this set has a structure of homogenous manifold, among other properties. Finally, we propose a definition for the Maslov Index for continuous curves on this new Lagrangian Grassmannian. And finally we will be able to propose a definition for Maslov Index relative to a Cartan-Dirac structure. Keywords: Lagrangian Grassmannian; Maslov Index; Cartan-Dirac structure