Uma introdução às técnicas de regularização para problemas inversos discretos lineares

Abstract

Resumo : Problemas inversos são comumente encontrados em aplicações de restauração de imagens, processamento de sinais, estudos metereológicos e sísmicos, imagens de tomografia, entre outras. Em todas essas áreas, o desafio que cerca o assunto é a classificação dos problemas inversos serem mal postos, isso implica que as soluções podem não ser viáveis e quando obtidas são sensíveis a pequenas perturbações nos dados iniciais, o que gera instabilidade. Essas "qualidades" motivam o estudo dos problemas inversos discretos lineares e indicam a necessidade de métodos que tenham por objetivo filtrar os ruídos e pertubações inerentes à natureza do problema. Este trabalho, portanto, objetiva fundamentar conceitos iniciais dos problemas inversos, apresentar e comparar os métodos de regularização clássicos: Regularização de Tikhonov e a Regularização TSVD, e também avaliar de maneira heurística os recursos que a Curva–L e Método de Discrepância de Morozov proporcionam para determinar o parâmetro de regularização mais adequado

Abstract : Inverse problems are commonly encountered in applications such as image restoration, signal processing, meteorological and seismic studies, tomography imaging, among others. In all these areas, the challenge surrounding the topic is that inverse problems are often ill-posed, meaning the solutions may not be feasible and, when obtained, they are sensitive to small perturbations in the initial data, leading to instability. These "qualities" motivate the study of linear discrete inverse problems and highlight the need for methods aimed at filtering noise and disturbances inherent to the nature of the problem. This work, therefore, aims to lay the foundational concepts of inverse problems, present and compare classical regularization methods: Tikhonov Regularization and TSVD Regularization, as well as heuristically evaluate the resources that the Curve–L and Morozov’s Discrepancy Method provide to determine the most appropriate regularization parameter