Redes neurais guiadas pela física : Implementações manuais e automatizadas na solução das equações de Burgers, korteweg-de vries e korteweg-de vries modificada

Abstract

Resumo : Este trabalho investiga a aplicação de Redes Neurais Guiadas pela Física (PINNs) como abordagem moderna e eficiente para a solução de Equações Diferenciais Parciais (EDPs), com foco nas equações de Burgers, Korteweg-de Vries (KdV) e Korteweg-de Vries modificada (mKdV). Ao enfrentar o desafio de desenvolver métodos computacionais precisos e adaptáveis para EDPs com características complexas, este estudo apresenta duas abordagens complementares: uma implementação manual e outra automatizada utilizando a biblioteca DeepXDE. A implementação manual permite um maior controle sobre cada etapa do processo, sendo ideal para experimentos que demandam ajustes detalhados ou a exploração de configurações específicas. Por outro lado, a abordagem automatizada é de implementação mais simples, mas limita o controle do usuário sobre alguns processos e o deixa sujeito a possíveis alterações na biblioteca utilizada. Além disso, diferentemente das metodologias de PINNs comumente encontradas na literatura para problemas de valor inicial, introduzimos um parâmetro que permite a dependência da solução numérica em relação à condição inicial do problema. Isso representa um avanço em comparação com os métodos clássicos e aplicações anteriores de PINNs, que exigem simulações independentes para cada escolha de parâmetro no problema de valor inicial. Os resultados mostram que ambas as abordagens são eficazes e atendem a diferentes demandas no contexto de pesquisa e aplicação. Assim, este trabalho contribui para a disseminação do uso das PINNs, oferecendo uma introdução acessível em língua portuguesa e promovendo o acesso de novos pesquisadores à área

Abstract : This work investigates the application of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) as a modern and efficient approach for solving Partial Differential Equations (PDEs), focusing on the Burgers’ equation, the Korteweg-de Vries (KdV) equation, and the modified Korteweg-de Vries (mKdV) equation. To address the challenge of developing computational methods that are both accurate and adaptable to PDEs with complex characteristics, this study presents two complementary approaches: a manual implementation and an automated implementation using the DeepXDE library. The manual implementation provides greater control over each stage of the process, making it ideal for experiments requiring fine-tuning or exploration of specific configurations. In contrast, the automated approach simplifies the development process but limits user control over some operations and exposes the user to potential updates in the library. Additionally, unlike conventional PINN methodologies commonly found in the literature for initial value problems, we introduce a parameter that allows the numerical solution to depend on the initial condition of the problem. This represents an advancement compared to classical methods and prior PINN applications, which require independent simulations for each parameter choice in initial value problems. The results demonstrate that both approaches are effective and address different demands in research and application contexts. Thus, this work contributes to the dissemination of PINNs, offering an accessible introduction in Portuguese and promoting entry for new researchers into this growing field