Formulação de esquemas numéricos para a resolução de modelos de equações diferenciais parciais de transporte com velocidade variável e fronteira periódica

Abstract

Resumo : Neste trabalho estudamos um modelo que descreve fenômenos de transporte. Consideramos a resolução de um problema que envolve uma equação diferencial parcial de transporte com coeficiente variável no espaço e condições de contorno periódicas. Nosso objetivo foi estudar o efeito da velocidade variável devido a mudanças no meio de propagação e explorar métodos que resolvessem este problema, algo sem resultados na literatura no caso dos métodos de diferenças finitas. Estudamos quatro métodos, três numéricos e um analítico. Dentro dos métodos numéricos exploramos dois tipos diferentes de diferenciação, por diferenças finitas e espectral. Nos métodos de diferenças finitas estudamos o upwind e o de Lax-Wendroff, desenvolvendo os seus respectivos esquemas e encontrando as suas equações modificadas. No método espectral estudamos a diferenciação para uma malha periódica e desenvolvemos um esquema que utiliza este método. Para cada método numérico, analisamos sua consistência e condições de estabilidade, e consequentemente, sua convergência. Estudamos um método analítico no intuito de comparar a solução real com as numéricas. O método analítico que empregamos é o das equações características. Analisamos as soluções obtidas e comparamos os resultados de cada esquema. Para os métodos numéricos, comparamos as suas respectivas ordens de convergência, erros das soluções e o tempo computacional de seus algoritmos quando implementados na linguagem de programação Octave. Constatamos que os menores erros foram observados nas soluções do esquema espectral. Os erros das soluções do esquema construído a partir do método de Lax-Wendroff foram maiores, mas ainda foram menores que as do esquema construído a partir do método upwind.

Abstract : In this work, we studied a model that describes transport phenomena. We solved a problem that involves a partial differential transport equation with space-varying coefficient and periodic boundary conditions. Our goal was to study the effect of variable velocity due to changes in the propagation medium and explore methods to solve this problem, something without results in the literature in the case of the finite difference methods. We studied four methods, three numerical and one analytical. Within the numerical methods, we explored two different types of differentiation, finite difference and spectral. In the finite difference methods, we studied the upwind and Lax-Wendroff’s methods, developing their respective schemes and finding their modified equations. In the spectral method, we studied differentiation on a periodic grid and developed a scheme that uses this method. For each numerical method, we analyzed its consistency and stability conditions, and hence, its convergence. We studied an analytical method in order to compare the real solution with the numerical ones. The analytical method that we employed was the characteristic equations. We analyzed the solutions obtained and compared the results of each scheme. For the numerical methods, we compared their respective convergence orders, solutions erros and computational time of their algorithms which were implemented in the Octave programming language. We found that the smallest errors were observed in the solutions of the spectral scheme. The errors of the solutions of the scheme constructed using the Lax-Wendroff method were higher, but were still lower than those of the scheme constructed using the upwind method.