O fenômeno de gibbs e os filtros espectrais na reconstrução de funções seccionalmente contínuas

Abstract

Resumo : Umdos problemas da análise de Fourier consiste em determinar sob quais hipóteses é possível representar uma função periódica como uma soma infinita de componentes senoidais chamados de harmônicos. Esta série, quando convergente, se denomina série de Fourier da função. A convergência desta série depende de vários fatores, principalmente da suavidade da função que está sendo aproximada. Neste trabalho consideramos o problema da convergência da série de Fourier para o caso em que a função apresenta um número finito de descontinuidades de salto no seu período. Neste caso, a soma parcial da série apresenta oscilações na vizinhança dos pontos de descontinuidade que não desaparecem mesmo quando considerados mais termos na soma. Esse fenômeno é conhecido pelo nome de fenômeno de Gibbs. Uma das estratégias utilizadas para atenuar essas oscilações consiste em acelerar a convergên cia da série usando filtros no espaço de Fourier. No trabalho, alguns desses filtros são apresentados e também implementados no software octave

Abstract : One of the problems of Fourier analysis is to determine under which conditions it is possible to represent a periodic function as an infinite sum of sinusoidal components called harmonics. This series, when convergent, is called Fourier series. The convergence of this series depends on several factors, mainly the smoothness of the function being approximated. In this work we consider the Fourier series convergence problem for the case where the function has a finite number of jump discontinuities in its period. In this case, the partial sum of the series has large oscillations near the jump discontinuities that do not disappear even when considering more terms in the sum. This phenomenon is known as the Gibbs phenomenon. One of the strategies used to attenuate these oscillations is to accelerate the convergence of the series using filters in the Fourier space. In this work some of these filters are presented and also implemented in the octave software