Controlabilidade do sistema de equações diferenciais do pêndulo simples via método numérico
Resumo
Resumo : A Teoria do Controle é um campo de estudo da Matemática que tem aplicações em diversos contextos, como no deslocamento de corpos, no enchimento de reservatórios de água e até mesmo no lançamento de foguetes. A importância desse estudo é evidente, dada sua ampla gama aplicações. Nesse contexto, desenvolvemos o presente trabalho com o objetivo de descrever, de forma teórica, como realizar o controle de um pêndulo simples a partir de um sistema com equações diferenciais. Para isso, foram apresentados conceitos fundamentais, da Álgebra Linear, Equações Diferenciais e Teoria do Controle. Em seguida, foi realizada a modelagem e a aplicação desses conceitos ao pêndulo simples preso a um carrinho por meio de uma haste. Foram analisados diferentes casos, variando o comprimento da haste. Após a aplicação de todos os casos, foram realizadas análises para identificar a abordagem mais adequada. Para facilitar o desenvolvimento, optamos por utilizar um programa computacional. Esse programa foi desenvolvido em Julia, uma linguagem conhecida por seu excelente desempenho em computação científica e ciência de dados. Ao executar o programa, os resultados são apresentados por meio de gráficos, permitindo uma visualização clara do desempenho do controle no sistema escolhido. Além disso, o programa permite a alteração das condições iniciais e finais, possibilitando a exploração de diversas situações com diferentes restrições. Tais condições foram relacionadas a dados físicos presentes no sistema como, posição inicial e final do carrinho e do objeto, velocidade inicial e final do carinho e do objeto, comprimento da haste e tempo de controle do sistema. A possibilidade dessa versatilidade nas condições impostas contribui para o desenvolvimento de novos resultados e aplicações. Em conclusão, a possibilidade de analisar diversos casos e condições em um determinado sistema de forma computacional, promove tanto a otimização de tempo quanto o alcance de resultados mais adequados e controles mais eficazes Abstract : Control Theory is a field of study in Mathematics that has applications in various contexts,such as moving bodies, filling water tanks, and even launching rockets. The importance of this study is evident, given its wide range of applications. In this context, we developed this work with the objective of describing, in a theoretical way, how to control a simple pendulum from a system with differential equations. To this end, fundamental concepts from Linear Algebra, Differential Equations, and Control Theory were presented. Then, the modeling and application of these concepts to the simple pendulum attached to a cart by means of a rod were carried out. Different cases were analyzed, varying the length of the rod. After applying all the cases, analyses were performed to identify the most appropriate approach. To facilitate development, we chose to use a computer program. This program was developed in Julia, a language known for its excellent performance in scientific computing and data science. When running the program, the results are presented through graphs, allowing a clear visualization of the control performance in the chosen system. Furthermore, the program allows the initial and final conditions to be changed, enabling the exploration of different situations with diferente restrictions. These conditions were related to physical data present in the system, such as the initial and final position of the cart and the object, the initial and final speed of the cart and the object, the length of the rod and the system control time. The possibility of this versatility in the imposed conditions contributes to the development of new results and applications.In conclusion, the possibility of analyzing different cases and conditions in a given system in a computational way promotes both the optimization of time and the achievement of more appropriate results and more effective controls