A equação de Whitham-Benjamin-Ono : uma extensão do modelo de KdV-Benjamin-Ono

Abstract

Resumo: As equações de Euler são um dos principais modelos matemáticos para descrever a dinâmica das ondas aquáticas. No entanto, devido às complexidades associadas ao tratam ento analítico e computacional dessas equações, surgem modelos alternativos para seu estudo, como o de Korteweg-de Vries (KdV). Embora o modelo de KdV tenha ampla aplicabilidade, ele apresenta limitações ao não capturar fenômenos como a quebra de onda e a formação de ondas mais íngremes, que estão presentes nas soluções das equações completas de Euler. P ara superar essas deficiências, W hitham desenvolveu um modelo puramente matemático que não apenas admite ondas solitárias e ondas periódicas cnoidais, mas também é capaz de reproduzir as características de quebra de onda e de formação de ondas mais íngremes observadas nas soluções das equações de Euler. Até onde sabemos, não há na literatura uma equação do tipo W hitham voltada especificamente para ondas em escoamentos eletrohidrodinâmicos. Este trabalho tem como objetivo preencher essa lacuna, introduzindo a equação W hitham-Benjamin-Ono (W hitham-BO), derivada a partir do modelo Korteweg-de Vries-Benjamin-Ono (KdV-BO). Além disso, realizaremos um a comparação numérica entre as soluções dos modelos de W hitham-BO e KdV-BO, variando a intensidade do campo elétrico atuante. E sta comparação numérica servirá de apoio para duas séries de experimentos numéricos subsequentes: a primeira delas investigará o comportamento de colisões de ondas solitárias soluções das equações de KdV-BO e W hitham-BO, e a segunda delas analisará o comportamento de ondas presas soluções das equações de KdV-BO e Whitham-BO. Os mecanismos numéricos utilizados têm como base o método espectral de Fourier. Nossos resultados m ostram que as soluções de W hitham-BO se aproximam das soluções de KdV-BO quando o parâm etro de dispersão possui valor próximo de zero. No estudo de colisões, verificamos a impossibilidade de um a categorização algébrica baseada apenas na razão das amplitudes das ondas solitárias, mas a possibilidade de um a categorização geométrica. Com relação ao estudo de ondas presas, concluímos que o tem po de escape das ondas dependem do campo elétrico atuante, de forma que este tem po de escape cresce até atingir um valor crítico e, em seguida, decresce

Abstract: The Euler equations are one of the main m athem atical models for describing the dynamics of water waves. However, due to the complexities associated with the analytical and computational treatm ent of these equations, alternative models have emerged for their study, such as the Korteweg-de Vries (KdV) model. Although the KdV model has broad applicability, it has limitations since it does not capture phenomena such as wave breaking and peaking waves, which are present in the solutions of the full Euler equations. To overcome these restrictions, W hitham developed a purely mathematical model th at adm its solitary waves, periodic cnoidal waves, and is also capable of reproducing the peaking and breaking wave characteristics observed in the solutions of the Euler equations. To our knowledge, there is no W hitham -type equation in the literature specifically focused on waves in electrohydrodynamic flows. This work aims to fill this gap by introducing the W hitham-Benjamin-Ono (W hitham-BO) equation, derived from the Korteweg-de Vries-Benjamin-Ono (KdV-BO) model. In addition, we will perform a numerical comparison between the solutions of the W hitham-BO and KdV-BO models, varying the intensity of the acting electric field. This numerical comparison will serve as support for two subsequent series of numerical experiments: the first one will investigate the behavior of solitary wave collisions solutions of the KdV-BO and W hitham-BO equations, and the second one will analyze the behavior of trapped waves solutions of the KdV-BO and W hitham-BO equations. The numerical mechanisms used are based on the Fourier spectral method. Our results show th at the W hitham-BO solutions approach the KdV-BO solutions when the dispersion param eter gets closer to zero. In the study of collisions, we verify the impossibility of an algebraic categorization based only on the ratio of the amplitudes of solitary waves, but the possibility of a geometric categorization. Regarding the study of trapped waves, we find th at the escape tim e of the waves depends on the acting electric field, so th at this escape time increases until it reaches a critical value and then decreases