Full euler equations for waves generated by vertical seabed displacements

Abstract

Resumo: Este estudo investiga a geração e a subsequente propagação de ondas aquáticas de gravidade causadas por deslocamentos verticais do leito submarino. Suas aplicações principais envolvem a modelagem das características dos tsunamis após eventos sísmicos. Este estudo preenche uma lacuna na literatura ao explorar os efeitos não lineares na dinâmica das ondas geradas, abordando o problema através das equações de Euler não lineares. Nosso objetivo principal é desenvolver um método numérico capaz de resolver essas equações para um fluxo irrotacional com duas fronteiras móveis: a superfície livre e o leito marinho. Para isso, desenvolvemos um mapeamento conforme dependente do tempo que leva em consideração a evolução temporal da geometria do fundo do mar e do perfil da onda ao longo da superfície. Esse procedimento nos permite criar um método numérico pseudo-espectral. Para validar nossa metodologia, comparamos os resultados com a teoria linear de Hammack, pois espera-se que, em casos de pequena amplitude no deslocamento do leito marinho, as soluções obtidas pelos dois modelos sejam similares. Os resultados indicam que tal situação é de fato constatada. Entretanto, à medida que o deslocamento torna-se maior ou mais rápido, maior é a diferença entre os modelos durante a fase de propagação, especificamente quanto a amplitude e à velocidade de propagação. Além disso, estudamos as limitações da técnica da geração passiva na fase de propagação de ondas. Este estudo apresenta um método novo e simples para investigar ondas em escoamentos com duas fronteiras móveis através das equações de Euler não lineares, com potencial de aplicação em diversos cenários além do proposto neste trabalho.

Abstract: This study investigates the generation and the subsequent propagation of gravity water waves due vertical seabed displacements. Its main application involves the modeling of tsunamis features after seismic events. This study fulfills a literature gap by exploring the nonlinear effects in the wave generated dynamics, approaching the problem through the Euler nonlinear equations, with the primary goal of obtaining a novel numerical method capable to solve these equations for an irrotational flux with two moving boundaries: the free surface and the seabed. With this purpose, we develop a time dependent conformal mapping which considers temporal evolution of the seabed geometry and the wave profile along the surface. This procedure allows us to develop a pseudo-spectral numerical method. In order to validate our methodology, we compare the results with Hammack’s linear theory, showing that for displacements with small amplitude, the solutions obtained by both models are similar. We also show that, as the displacement becomes faster or bigger, greater is the difference between the models during the propagation phase, specifically regarding the amplitude and the propagation velocity. Furthermore, we study the limitations of the passive generation approach in the wave propagation phase. This study presents a novel and simple general method to investigate waves in flows with two moving boundaries through the Euler nonlinear equations, with a potential of application in many scenarios beyond this setting.