Partial representations of pointed Hopf algebras

Abstract

Resumo: As representações parciais das álgebras de Hopf foram motivadas pela teoria de representações parciais de grupos. Alves, Batista e Vercruysse introduziram representações parciais de uma álgebra de Hopf H e mostraram que, como no caso de ações parciais de grupos, uma ação parcial de H em uma álgebra A leva a uma representação parcial de H na álgebra de endomorfismos lineares de A, e um módulo à esquerda M sobre o produto smash parcial de A por H também traz naturalmente uma representação parcial de H na álgebra de endomorfismos lineares de M. Alves, Batista e Vercruysse também mostraram que as representações parciais de H correspondem a módulos à esquerda sobre um algebróide de Hopf Hpar, a "álgebra parcial de Hopf" associada a H. O foco desta tese é o estudo da estrutura algébrica e das representações de Hpar para álgebras de Hopf pontuadas e também para álgebras de Hopf cocomutativas. Provamos que se A e H são duas álgebras de Hopf e seu produto smash A#H também é uma álgebra de Hopf, e A não possui nenhuma representação parcial que não seja também global, então cada representação parcial do produto smash A#H pode ser fatorado por meio de uma representação global de A e uma representação parcial de H. Isto nos permite descrever a álgebra de Hopf parcial associada a uma álgebra de Hopf cocomutativa. Provamos também que se uma representação parcial de uma álgebra de Hopf H é global quando restrita ao corradical de H, então ela já era global desde o início. Um resultado que decorre diretamente disso é que qualquer álgebra de Hopf com corradical unidimensional, como uma envolvente universal de uma álgebra de Lie ou uma álgebra de Hopf combinatória, não possui nenhuma representação parcial que não seja global. Mostramos que se H é uma álgebra de Hopf pontuada então Hpar pode ser escrito como uma soma direta de ideais unitários, estendendo uma decomposição anterior obtida por Dokuchaev, Exel e Piccione para o caso de álgebras de grupo. Ao final estudamos as álgebras parciais de Hopf associadas à família das álgebras de Hopf de dimensão 2n e coradical de dimensão 2 descritas e classificadas por Caenepeel e Dascalescu. Provamos que, da mesma forma que essas álgebras de Hopf formam uma cadeia ascendente de álgebras de Hopf, as álgebras parciais de Hopf associadas também formam uma cadeia de álgebras. Além disso, uma está contido na outra como um ideal unitário. Para concluir, focamos nos dois primeiros elementos da família, onde o menor é a álgebra de Sweedler e o outro é uma soma direta de uma álgebra de Sweedler e um ideal nilpotente; descrevemos as álgebras parciais de Hopf associadas e estudamos suas representações parciais.

Abstract: Partial representations of Hopf algebras were motivated by the theory of partial representations of groups. Alves, Batista e Vercruysse introduced partial representations of a Hopf algebra and showed that, as in the case of partial groups actions, a partial H-action on an algebra A leads to a partial representation on the algebra of linear endomorphisms of A, and a left module M over the partial smash product of A by H carries also a partial representation of H on its algebra of linear endomorphisms. Alves, Batista e Vercruysse have also shown that partial representations of H correspond to left modules over a Hopf algebroid Hpar, the "partial Hopf algebra" associated to H. The focus of this thesis is the study of the algebraic structure and the representations of Hpar for pointed Hopf algebras and also for cocomutative Hopf algebras. We prove that if A and H are two Hopf algebras and their smash product A#H is also a Hopf algebra, and A does not have any strictly partial representation, then each partial representation of the smash product A#H can be factorized via a global representation of A and a partial representation of H. This allows us to describe the partial Hopf algebra associated to a cocomutative Hopf algebra. We also prove that if a partial representation of a Hopf algebra H is global when restricted to the coradical of H, then it was already global to begin with. One result that follows directly from this is that any Hopf algebra with unidimensional coradical, such as an enveloping universal algebra of a Lie algebra and a combinatorial Hopf algebra, does not have any partial representation which is not global. We show that if H is a pointed Hopf algebras then Hpar can be written as a direct sum of unital ideals, extending a previous decomposition obtained by Dokuchaev, Exel and Piccione for the case of group algebras. Finally we study the partial Hopf algebras associated with the family of Hopf algebras of dimension 2n and coradical of dimension 2 described and classified by Caenepeel and Dascalescu. We prove that, in the same way that these form an ascending chain of Hopf algebras, the associated partial Hopf algebras also form a chain of algebras. Furthermore, one is contained within the other as a unital ideal. To conclude, we focus on the first two elements of the family, where the smallest one is the Sweedler Hopf algebra and the other one is a direct sum of the Sweedler Hopf algebra and a nilpotent ideal; we describe their associated partial Hopf algebras and study their partial representations.