Estudo numérico do modelo Boussinesq com topografia e pressão variável no espaço e no tempo

Abstract

Resumo: O estudo da interação entre ondas aquáticas e obstáculos topográficos, bem como com uma pressão variável na superfície livre, é um tema de interesse teórico e prático. Do ponto de vista teórico, as equações que modelam esse problema constituem um sistema de equações diferenciais parciais não lineares de fronteira livre e móvel, conhecido como as equações de Euler, o que torna desafiadora a análise matemática deste sistema. Do ponto de vista prático, este problema possui diversas aplicações físicas, como o fluxo de água sobre rochas, ondas de navios e ondas oceânicas geradas por tempestades. Diante das dificuldades do tratamento analítico e computacional das equações de Euler, uma alternativa elegante para estudá-las é a utilização de modelos assintóticos. Entre os modelos assintóticos presentes na literatura, o modelo de Boussinesq e de Korteweg-De Vries são os mais conhecidos. Surge então a questão: qual deve ser a calibragem dos parâmetros para garantir a proximidade da solução desses modelos? Neste trabalho, apresentamos a dedução do modelo assintótico de Boussinesq para o cenário em que uma onda se propaga em um canal com topografia e pressão na superfície variáveis no espaço e no tempo. Ademais, deduzimos também a equação de Korteweg-De Vries forçada (fKdV), que é aplicada na modelagem de ondas propagando-se em canais com topografia e pressão viajantes na superfície. Além do estudo assintótico, realizamos uma comparação numérica entre as soluções dos modelos de Boussinesq e de fKdV. Adicionalmente, propomos uma formulação das equações de Boussinesq que incorpora uma esponja artificial na fronteira do domínio, a qual é validada numericamente. Os procedimentos numéricos utilizados são baseados no método espectral de Fourier. Nossos resultados indicam que as soluções de Boussinesq e fKdV são qualitativamente as mesmas, sendo praticamente indistinguíveis quando os parâmetros de não linearidade e dispersão são suficientemente pequenos, a saber, da ordem 10-2. Com relação aos modelos com esponja, eles se mostram capazes de absorver ondas de pequenas amplitude que se aproximam da fronteira do domínio computacional, o que é vantajoso em determinados contextos, por exemplo, no estudo de ondas presas.

Abstract: The study of the interaction between water waves and topographic obstacles, as well as variable pressure on the free surface, is a subject of both theoretical and practical interest. The theoretical perspective revolves around a system of nonlinear partial differential equations with a free and moving boundary, known as the Euler equations, making the mathematical analysis of this system challenging. From a practical point of view, this problem finds numerous physical applications, such as water flow over rocks, ship waves, and ocean waves generated by storms. Given the analytical and computational difficulties associated with the Euler equations, an elegant alternative for studying them is the use of asymptotic models. Among the asymptotic models found in the literature, the Boussinesq and Korteweg-De Vries models are the most well-known. A natural question arises: what should be the calibration of the parameters to ensure the proximity of solutions between these models? In this work, we present the deduction of the Boussinesq asymptotic model for the scenario in which a wave propagates in a channel with topography and variable pressure on the free surface that varies in both space and time. Furthermore, we also derive the forced Korteweg-De Vries equation (fKdV), which is employed in modeling waves propagating in channels with traveling topography and traveling pressure on the free surface. In addition to the asymptotic study, we perform a numerical comparison between the solutions of the Boussinesq and fKdV models. Additionally, we propose a formulation of the Boussinesq equations that incorporates an artificial sponge at the boundary of the computational domain, which is validated numerically. The numerical procedures employed are developed using the Fourier spectral method. Our results indicate that the solutions of Boussinesq and fKdV are qualitatively the same, practically indistinguishable when the nonlinearity and dispersion parameters are sufficiently small, of the order of 10-2. Regarding the models with a sponge, they prove capable of absorbing low-amplitude waves that approach the computational domain boundary, which is advantageous in certain contexts, such as the study of trapped waves.