Álgebras de Hopf de dimensão finita, pontuadas, de posto um, e suas representações

Abstract

Resumo: Esse trabalho tem como objetivos apresentar a classificação de uma família de algebras de Hopf de dimensão finita, estudar as representações das algebras desta família e finalmente descrever seu anel de representações. Uma algebra de Hopf H e uma algebra que possui uma subestrutura dual a estrutura de algebra, chamada de coalgebra, e ambas sao compatíveis. Essa estrutura dual nos permite definir de modo natural um a estrutura de H-módulo no produto tensorial de dois H-módulos, e a partir disso, obter a construcao do anel de representações de H . Uma algebra de Hopf e pontuada se todas as suas subcoalgebras simples sao unidimensionais. Na primeira parte do trabalho apresentamos a classificacão de uma subclasse dessas ólgebras, a classe das ólgebras de Hopf de dimensao finita, pontuadas e de posto um, seguindo o artigo [Krop, L., Radford, D.E.: Finite-dimensional Hopf algebras of rank one in characteristic zero]. Na segunda parte do trabalho estudamos as representaçcãoes de um a íalgebra de Hopf de dimensaão finita, pontuadas e de posto um do tipo nilpotente, utilizando para isso o artigo [Wang, Z. , Li, L., Zhang, Y.: Green rings of pointed rank one Hopf algebras of nilpotent type]. Primeiro determinamos quais sao as representações simples de H , utilizando o radical de Jacobson da algebra, depois seus modulos projetivos indecomponíveis. Veremos que H ó uma algebra de Nakayama, o que nos dó um a maneira explícita para encontrar todos os seus m ídulos indecomponíveis. Na terceira parte, baseados no mesmo artigo de Wang, Li e Zhang, mostramos uma formula para o produto tensorial de modulos indecomponíveis por meio do estudo de algumas sequencias de Auslander-Reiten. Por fim provamos que o anel de representaçoes de H ó comutativo e ó gerado por uma variível sobre o anel de representaçoes de uma algebra de grupo.

Abstract: This work aims to present the classification of a family of finite-dimensional Hopf algebras, study the representations of algebras in this family, and finally, describe their representation ring. A Hopf algebra H is an algebra th at possesses a dual substructure to the algebraic structure, called a coalgebra, and both are compatible. This dual structure allows us to naturally define an H-module structure on the tensor product of two H-modules, leading to the construction of the representation ring of H . A Hopf algebra is pointed if all its simple subcoalgebras are one-dimensional. In the first part of the work, we present the classification of a subclass of these algebras, namely, the class of finite-dimensional, pointed, and rank-one Hopf algebras, following the article [Krop, L., Radford, D.E.: Finite-dimensional Hopf algebras of rank one in characteristic zero]. In the second part of the work, we study the representations of a finite-dimensional, pointed, and rank-one nilpotent-type Hopf algebra, using the article [Wang, Z., Li, L., Zhang, Y.: Green rings of pointed rank one Hopf algebras of nilpotent type]. We first determine the simple representations of H using the Jacobson radical of the algebra, and then its indecomposable projective modules. We will see th at H is a Nakayama algebra, which provides us with an explicit way to find all its indecomposable modules. In the third part, based on the same article by Wang, Li, and Zhang, we show a formula for the tensor product of indecomposable modules through the study of some Auslander-Reiten sequences. Finally, we prove th at the representation ring of H is commutative and generated by a single variable over the representation ring of a group algebra.