Estabilidade numérica de ondas solitárias para Equações de Euler em escoamentos com vorticidade constante

Abstract

Resumo: Dentre uns dos problemas que tem despertado a curiosidade de leigos e cientistas por séculos está a propagação das ondas aquáticas. Matematicamente, o movimento das ondas aquáticas é modelado por meio das equações da hidrodinâmica deduzidas por Euler em meados do século XVIII. As equações de Euler consistem de um sistema de equações diferenciais parciais não lineares de fronteira-livre e móvel. Diversos trabalhos têm abordado este problema no contexto de ondas aquáticas viajantes em escoamentos com vorticidade constante. No entanto, poucos autores têm considerado o estudo da estabilidade numérica de tais ondas. A hipótese de ondas viajantes permite eliminar a dependência na variável tempo das equações governantes de modo que o escoamento passa a ser permanente, tornando até certo ponto mais fácil o tratamento numérico das equações. Neste trabalho estudamos numericamente a estabilidade de ondas solitárias em escoamentos com vorticidade constante soluções das equações de Euler permanentes. Por meio da técnica do mapeamento conforme reescrevemos as equações de Euler (permanentes e dependentes do tempo) em um domínio mais simples onde as soluções numéricas são calculadas via métodos numéricos pseudo-espectrais. A abordagem empregada nos permite tomar as soluções das equações de Euler permanentes como dados iniciais para as equações de Euler dependentes do tempo. Com isso, investigamos até que ponto as ondas solitárias rotacionais para as equações de Euler permanentes são de fato ondas viajantes. Nossos resultados indicam que embora possam existir ondas solitárias para as equações de Euler permanentes para valores de vorticidade arbitrariamente grandes, essas ondas não são numericamente estáveis. Mais ainda, as simulações apontam que as ondas solitárias são estáveis apenas para valores de vorticidade pequenos.

Abstract: Among the problems that have brought curiosity of laymen and scientists for centuries is the propagation of water waves. Mathematically speaking, the movement of water waves is modelled by the hydrodynamic equation derived by Euler in the middle of the 18th century. The Euler equations consist of a system of nonlinear partial differential equations with free boundary conditions. Several authors have studied this problem in the context of travelling water wave with constant vorticity, however there are only a few works devoted to the study of the numerical stability of such waves. The assumption of travelling wave allows to eliminate the time dependence in the governing equations turning the flow into a steady one, which makes the numerical treatment somewhat simpler. In this work we study numerically the stability of solitary waves for the steady Euler equation in a shear flow with constant vorticity. Through a conformal mapping we rewrite the (steady and time-dependent) Euler equations in a new coordinate system in which numerical computations are performed via a pseudo-spectral method. This approach permit us to consider the solutions of the steady problem as initial data for the time-dependent Euler equations. Consequently, we investigate in what extent solutions of the steady problem are indeed travelling wave solutions for the the time-dependent problem. Although we are able to compute solitary waves for the steady Euler equations for large values of vorticity, our results indicate that these waves are not numerically stable. Furthermore, we notice that only solitary waves in flows with small values of vorticity turn out to be numerically stable.