On a chemo-attraction model with consumption

Abstract

Resumo: Neste trabalho, investigamos um modelo de quimioatração com consumo, que chamamos de modelo original, em domínios não-suaves e limitados de Rd (d = 1, 2, 3). Os termos não-lineares relacionados aos fenômenos de quimiotaxia e consumo introduzem muitas dificuldades na análise do modelo original, principalmente para sua simulação numérica. A fim de superar estas dificuldades, propomos e analisamos um modelo regularizado, estabelecendo resultados sobre a existência, unicidade, propriedades de regularidade e convergência para o modelo original. Após estabelecer a convergência do modelo regularizado para o modelo original, procedemos à aproximação numérica do modelo regularizado. Introduzimos três esquemas numéricos totalmente discretos baseados em Elementos Finitos. Para cada esquema, estudamos a existência de solução, a convergência para o modelo regularizado, as condições para a unicidade de solução e as taxas de erro em termos dos parâmetros de discretização.

Abstract: In this work we investigate a chemo-attraction with consumption model, which we call the original model, in non-smooth bounded domains of Rd (d = 1, 2, 3). The non-linear terms related to the chemotaxis and consumption phenomena introduce many difficulties to the analysis of the original model, mainly for its numerical simulation. In order to overcome these difficulties, we propose and analyze a regularized model, establishing results on existence, uniqueness, regularity’s properties and convergence towards the original model. After establishing convergence of the regularized model towards the original model, we proceed to the numerical approximation of the regularized model. We introduce three fully discrete numerical schemes based on Finite Elements. For each scheme, we study the existence of solution, the convergence towards the regularized model, the conditions for uniqueness of solution and the accurate rates for the error in terms of the discretization parameters.