Estudo das equações do tipo Benjamin por uma abordagem analítica e numérica

Abstract

Resumo: Neste trabalho estudou-se a família de equações de Benjamin pelas abordagens analítica e numérica. Na abordagem analítica a boa colocação foi garantida para a família de equações de Benjamin regularizada utilizando a teoria de semigrupos. Na abordagem numérica, foram estudados os operadores que aparecem na família de equações de Benjamin tanto no domínio da frequência, quanto no domínio físico, distinguindo-se tanto o caso não periódico quanto o caso periódico. Um desses operadores é a Transformada de Hilbert na faixa. No caso periódico, a expressão do núcleo desse operador é dada por funções especiais, cujo cálculo é comparado com o caso não periódico no mesmo intervalo. Ainda no caso periódico foi analisada a sua representação por Série de Fourier, Por fim, foi feita a implementação numérica da solução da família de equações de Benjamin. Na diseretização espacial utilizou-se o método dos cinco pontos e o método espectral. Na discretização temporal, a partir do método das linhas, foram comparados dois métodos: le.apfrog e Runge-Kutta de quarta ordem.

Abstract: In this work we study a Benjamin equations family by an analytical and numerical approach. In the analytical approach the well-posedness was proved for the regularized Benjamin equations family using semigroup theory. In the numerical approach, we studied the operators that appear in the Benjamin's family of equations, both in the frequency domain and in the physical domain, distinguishing both the non-periodic and the periodic cases. One of these operators is a Hilbert transform in the strip. In the periodic case, an expression for the operator's kernel is given by special functions, whose calculation is compared with a non-periodic case in the same range. Also in the periodic case its representation by Fourier Series is analyzed. Finally, the solutions of the Benjamin equations family was numerically implemented. For the spatial discretization, the five-point method and the spectral method were used. For the temporal discretization, from the method of lines, two methods were compared: leapfrog and fourth order Runge-Kutta,