Comportamento assintótico para uma equação de ondas semilinear em Rn

Abstract

Resumo: Neste trabalho, estudamos os resultados de existência, unicidade e comportamento assintótico da solução para o problema de Cauchy de equações de ondas duplamente amortecidas (amortecimento friccional ut e viscoelastico ( - delta) ut), {Utt - (delta)U + Ut - (delta)Ut = F(u), (iota) E Rn, t maior ou igual à 0, {(U, Ut)(0, (iota)) = (U0, U1)(Iota), (iota) E Rn. (1) sob a presença de não linearidades do tipo, f (u) = |u|p, |(nabla)u|p, |ut|p, com p >1. Assumimos que os dados iniciais pertencem aos conjuntos (L1 (interseção) H1) × (L1 (interseção) L2) ou (W 1,1 (interseção) H2) × (L1 (interseção) L2), e deduzimos as estimativas de energia, bem como as estimativas L¹ para a solução da parte linear deste problema. Então, mostramos a existência global de solução para (1) em qualquer espaço de dimensão n (maior ou igual à) 1 para quaisquer dados iniciais suficientemente pequenos.

Abstract: In this work, we study the results of existence, uniqueness and asymptotic behavior of the solution to the Cauchy problem of doubly damped wave equations (frictional damping ut and viscoelastic -(delta)ut), {Utt - (delta)U + Ut - (delta)Ut = F(u), (iota) E Rn, t (bigger or equal) 0, {(U, Ut)(0, (iota)) = (U0, U1)(Iota), (iota) E Rn. under the presence of non-linearities of the type, f(u) = |u|p, |(nabla)u|p, |ut|p, with p > 1. We assume that the initial data belong to the sets (L1 (intersection) H1) × (L1(intersection) L2) ou (W 1,1 (intersection) H2) × (L1 (intersection) L2), and we derive the energy estimates, as well as the estimates L¹ for the solution of the linear part of this problem. We then show the global solution existence for (1) in any dimension space n (bigger or equal) 1 for any sufficiently small initial data.