Polinômios e sequências reais

Abstract

Resumo: Esta dissertação objetiva a análise de sequências e funções reais. O entendimento destas através de polinómios, suas raízes, soluções a questões e métodos utilizados para se obtê-las serão demonstrados baseando-se em definições e teoremas conhecidos, estes últimos também sendo demonstrados. Iniciamos com uma introdução histórica a respeito dos polinómios, equações algébricas e suas soluções, destacando a inter-relação entre Geometria e Álgebra. A seguir, introduzimos no Capítulo 2 os conceitos de função e de sequência real, das operações entre sequências, fornecendo um dispositivo prático para a multiplicação de sequências quase nulas. No Capítulo 3, apresentamos o conceito de polinómio com coeficientes reais e exploramos as propriedades dos graus dos polinómios, das operações entre estes e da estrutura de anel do conjunto P dos polinómios. Nos Capítulos de 4 a 6, estudamos a imersão do conjunto R dos números reais em P e os polinómios na indeterminada A . Em seguida, os Capítulos 7 e 8 são dedicados aos conteúdos de divisibilidade e divisão de polinómios, funções polinomiais e raízes de um polinómio, incluindo a demonstração do Teorema do Resto. Finalizamos com o Capítulo 9, trazendo os tópicos pertinentes às Equações Algébricas, a saber: a decomposição de um polinómio em fatores lineares em C decorrente do Teorema Fundamental da Álgebra, a multiplicidade das raízes, as Relações de Girard, raízes racionais e raízes complexas de um polinómio, aplicabilidade do Teorema de Bolzano-Cauehy e o Método de Laguerre para a determinação de um intervalo real contendo as raízes de um polinómio.

Abstract: This dissertation aims to analyze sequences and real functions. The understanding of these through polynomials, their roots, solutions to questions and methods used to obtain them will be proved based on known definitions and theorems, the latter will also be proved. We begin with a historical introduction about polynomials, algebraic equations and their solutions, highlighting the relationship between Geometry and Algebra. Next, we introduce in C hapter 2 the concepts of function and real sequence, operations between sequences, providing a practical device for the multiplication of almost zero sequences. In C hapter 3, we present the concept of polynomial with real coefficients and explore the properties of the degrees of polynomials, the operations between them and the ring structure of the set P of polynomials. From C hapter 4 to 6, we study the immersion of the set R of real numbers in P and the polynomials in the indeterm inate X . Then, Chapters 7 and 8 are dedicated to the contents of divisibility and division of polynomials, polynomial functions and roots of a polynomial, including the proof of the Theorem of the Rest. We conclude with C hapter 9, bringing the pertinent topics to Algebraic Equations, namely: the decomposition of a polynomial into linear factors in C due to the Fundamental Theorem of Algebra, the multiplicity of roots, the Girard Relations, rational and complex roots of a polynomial, applicability of the Theorem of Bolzano-Cauehy and the Laguerre M ethod for determining a real interval containing the roots of a polynomial.