Triângulos multinomiais

Abstract

Resumo: Utilizando equações a coeficientes inteiros, investigamos os coeficientes aritméticos da expansão multinomial de (1 x x2 x3 ... xm)n . Problemas de contagem, que surgiram no curso dessa investigação, exigiram uma análise mais cuidadosas de soluções combinadas de diferentes equações a coeficientes inteiros. Isso nos permitiu obter uma descrição geral de regularidades numéricas de tais coeficiente que, em certa medida, podem ser encarados como uma generalização do triângulo aritmético de Pascal. Por outro lado, ainda que o teorema multinomial se preste a uma generalização do teorema binomial clássico, a estrutura aritmética de seus coeficientes não permite observar as regularidades que aqui apresentamos.

Abstract: By means of equations with integer coefficients, we investigate the arithmetic coefficients of the multinomial expansion of (1 x x2 x3 … xm)n . Counting problems that arose in the course of this investigation required a more careful analysis of combined solutions of different equations with integer coefficients. This allowed us to obtain a general description of numerical regularities of such coefficients that to some extent can be viewed as a generalization of Pascal's arithmetic triangle. On the other hand, although the multinomial theorem bring us a generalization of the classical binomial theorem, the arithmetic structure of its coefficients does not allow us to observe the regularities presented here.