A onipresença do Phi

Abstract

Resumo: Esta dissertação tem por objetivo apresentar e discutir a ubiquidade do Número de Ouro na matemática. Este número muito especial intrigou inúmeros matemáticos ao longo da história, como Euclides, Pitágoras, Fibonacci, entre outros, e chegou a ser considerado um tesouro da Matemática por Kepler e também um número divino por Pacioli. Possui diversas outras denominações, as mais conhecidas são: Número Áureo, Razão ou Proporção Áurea, Phi, etc. No decorrer do trabalho é apresentado um estudo com um sucinto contexto histórico, curiosidades, propriedades e aplicações desse número em diversas áreas da Matemática, tais como na Geometria- nas construções do segmento áureo, da espiral áurea e das figuras geométricas áureas, das quais é dado um destaque em especial às diversas relações áureas encontradas no pentágono regular; na Álgebra- na determinação desse número por meio da razão, proporção, equação de 2° grau, limites, etc.; e na Trigonometria - relacionando-o ao ângulo de 18° e seus múltiplos. Também apresenta a relação intrínseca entre a famosa sequência de Fibonacci e 36°. Este trabalho se justifica por ser uma ferramenta rica em conceitos e propriedades capaz de auxiliar professores e estudantes de matemática de todos os níveis da educação, nos estudos sobre o Número de Ouro e suas aplicações na matemática. Como principal base teórica para esta pesquisa, foi recorrido aos estudos/obras de LÍVIO (2006), CONTADOR (2007), HUNTLEY (1985), ZANH (2011) e MOISE & DOWNS (1971).

Abstract: This dissertation aims to explore a very special number that has intrigued numerous mathematicians throughout the history, for example, Euclid, Pythagoras, Fibonacci, among others. This number was considered a treasure of Mathematics by Kepler and also a divine number by Pacioli. It has several denominations, some the most known are: Gold Number, Ratio or Golden Ratio, Phi, etc. In the course of this paper, a study is presented about the ubiquity of this number in mathematics, with a succinct historical context, curiosities, properties and its applications in several areas of Mathematics, such as in Geometry - in the constructions of the golden segment, the golden spiral, and the golden geometric figures, of which the golden relations found in the regular pentagon are especially prominent; in Algebra - in the determination of this number by means of ratio, proportion, 2nd degree equation, limits, etc.; and in Trigonometry - relating it to the angle of 18 ° and 36°. It is also presented the intrinsic relationship between the famous Fibonacci sequence and the Gold Number. This paper has its importance justified because it brings concepts and properties for all levels of mathematics studies concerning the Gold Number and its applications. As the main theoretical basis for this research, it was resorted to studies / works by LÍVIO (2006), CONTADOR (2007), HUNTLEY (1985), ZANH (2011) and MOISE & DOWNS (1971).