Resoluções matriciais de equações a diferenças lineares : estendendo o que foi visto no PROFMAT

Abstract

Resumo: O presente trabalho apresenta alguns métodos de resolução de equações a diferenças finitas lineares, que também são conhecidas por recorrências lineares. Inicialmente, faz-se uma revisão do processo resolutivo de recorrências de primeira e segunda ordens da forma como costumam ser estudadas em disciplinas de matemática discreta. Na sequência, com a introdução de elementos de Álgebra Linear, são apresentados métodos que possibilitam resolver recorrências lineares de qualquer ordem, utilizando sua forma matricial. Primeiro é estudado o caso da recorrência ser do tipo homogênea e, a seguir, estende-se a teoria para as equações não homogêneas. Também são apresentados exemplos que ilustram como se dá a resolução de problemas de valor inicial utilizando a teoria apresentada. Por fim, é feita uma análise do que ocorre ao calcularmos uma grande quantidade de termos de uma recorrência, por meio do Teorema do Comportamento Assintótico e sua aplicação através do método de iterações de potências. Palavras-chave: Recorrências. Equações a diferenças. Matemática discreta. Sequências. Problema de Valor Inicial.

Abstract: The present work presents some methods of solving equations to linear finite differences, which are also know as linear recurrences. Initially, it is made a review of the resolving process of first and second order recurrences as they are usually studied in discrete mathematics disciplines. Then, with the introduction of Linear Algebra elements, methods are presented that solving linear recurrences of any order, using their matrix form. First, is considered the case of recurrences to be the homogeneous type, and then the theory is extended to non homogeneous equations. Also given are examples that illustrate how to solve initial value problems using the theory presented. Finally, an analysis is made of what happens when we calculate a large number of terms of a recurrence, through the Asymptotic Behavior Theorem and its application through the method of power iterations. Keywords: Recurrences. Differences Equations. Discrete mathematics. Sequences. Initial value problem.