Natural homotopies and extensions of lie algebroids as actions up to homotopy

Abstract

Resumo: Nesta tese introduzimos uma noção apropriada de homotopia entre morfismos de grupoides de Lie, obtemos o objeto infinitesimal correspondente e explicamos como integrá-lo. Depois, caracterizamos morfismos entre extensões de algebróides de Lie por meio de conexões de Ehresmann. Em seguida, definimos ações'a menos de homotopia, as quais são certas a?ações que generalizam representações 'a menos de homotopia de 2-termos, e mostramos que a categoria correspondente 'e equivalente 'a categoria de extensões de algebroides de Lie. Então discutimos como uma ação 'a menos de homotopia se integra num 2-funtor estrito adequado, chamado de 2-funtor de holonomia. Discutimos também, brevemente, esta integração ao nível de morfismos. Palavras-chave: Transformações naturais suaves; homotopias naturais; extensões de algebróides de Lie; ações 'a menos de homotopia.

Abstract: In this thesis we introduce an appropriate notion of homotopy between morphisms of Lie groupoids. We obtain the corresponding infinitesimal object and we also explain how to integrate it. Next, we characterize morphisms between extensions of Lie algebroids by means of Ehresmann connections. Afterwards, we define actions up to homotopy, which are certain actions which generalize 2-term representations up to homotopy, and we show that the corresponding category is equivalent to the category of extensions of Lie algebroids. Then we discuss how an action up to homotopy integrates to a suitable strict 2-functor, called the holonomy 2-functor. We also discuss briefly this integration at the level of morphisms. Keywords: Smooth natural transformations; natural homotopies; Lie algebroid extensions; actions up to homotopy.