O teorema de Cohen-Fischman-Montgomery para álgebras com unidades locais

Abstract

Resumo: Em seu artigo intitulado "Hopf Galois Extensions, Smash Products, and Morita Equivalence" , Cohen-Fischman-Montgomery consideram uma algebra de Hopf H de dimensao finita, uma H-modulo algebra a esquerda A com unidade e a H-extensao de A sobre sua subalgebra de invariantes. Neste artigo e apresentado o Teorema que reune resultados de varios autores, estabelecendo quatro condicoes envolvendo o produto smash de A por H, a subalgebra de invariantes de A e um contexto de Morita entre estas duas algebras que sao equivalentes a H-extensao mencionada ser Hopf-Galois. Em nosso trabalho, estendemos o Teorema de Cohen-Fischman-Montgomery para H-modulo algebras a esquerda com unidades locais, considerando H novamente uma algebra de Hopf de dimensao finita, mostrando onde a unidade e necessaria nas demonstracaes originais e quais adaptacoes precisam ser feitas para compensar a ausencia da unidade. Procuramos manter o minimo de hipoteses para cada resultado parcial, partindo de aalgebras sem unidades, precisando utilizar aalgebras com unidades locais apenas na reuniaao dos resultados no teorema final. Palavras-chave: extensoes Hopf-Galois, produto smash, aneis com unidades locais, modulos si-unitarios, base dual, modulos localmente projetivos, contexto de Morita, aneis sem unidade, maodulos unitaarios.

Abstract: In their article entitled "Hopf Galois Extensions, Smash Products and Morita Equivalence" , Cohen-Fischman-Montgomery consider a finite-dimensional Hopf algebra H, a left H-module algebra A with unit and the H-extension of A over its subalgebra of invariants. This article presents the Theorem that brings together results from several authors, establishing four conditions involving the smash product of A by H, the subalgebra of invariants of A and a Morita context between these two algebras which are all equivalent to the condition that the mentioned H-extension is a Hopf-Galois extension. In our work, we extend the Cohen-Fischman-Montgomery Theorem to left H-module algebras with local units, considering again a finite-dimensional Hopf algebra H, showing where the unit is needed in the original proofs and which adaptations must be made in order to compensate for the lack of the unit. We seek to keep the minimum amount of hypothesis needed on each partial result, starting from non-unital algebras, using algebras with local units only when we brought together the results on the final theorem. Key-words: Hopf-Galois extensions, smash product, rings with local units, si-unital modules, dual basis, locally projective modules, Morita context, non-unital rings, unital modules.