Método de elementos espectrais para a equação da onda com coeficientes variáveis

Abstract

Resumo: Esta tese refere-se a aproximação numérica da equação da onda acústica bidimensional com coeficientes variáveis, que modela a propagação de ondas compressionais em meios heterogêneos. Duas condições de fronteira diferentes são consideradas, a saber, a condição de Dirichlet e a condição de Engquist-Majda. Em ambos os casos, a discretização no espaço é feita usando-se o método de elementos espectrais baseado na regra de quadratura de Gauss-Lobatto-Legendre, enquanto a discretização no tempo é feita usando-se um dos métodos explícitos da classe de esquemas de diferenças finitas de Newmark. Uma analise hp do erro de discretização e apresentada, fornecendo limitantes superiores para o erro em termos do tamanho dos elementos da malha, do grau das funções de base polinomiais e do passo no tempo. Esses limitantes generalizam vários resultados conhecidos na literatura no contexto da equação da onda com coeficientes constantes. Experimentos numéricos são reportados, confirmando os resultados teóicos obtidos.

Abstract: This thesis concerns the numerical approximation of the two dimensional acoustic wave equation with non-constant coefficients, which models the propagation of P-waves in heterogenous media. Two different boundary conditions are considered, namely the Dirichlet condition and the Engquist-Majda condition. In both cases, the discretization in space is performed using the spectral element method based on Gauss-Lobatto-Legendre quadrature formula, while the discretization in time is performed using an explicit method from the Newmark family of finite difference schemes. A rigorous hp analysis of the discretization error is presented, providing upper bounds for the error in terms of the element mesh size, the degree the polynomial basis functions, and the time step. These bounds generalize several known results in the literature in the context of the wave equation with constant coefficients. Numerical experiments are reported, confirming the theoretical results obtained.