Condicionamento do problema de autovalores obtido do método de elementos finitos generalizados na dinâmica de estruturas

Abstract

Resumo: Sabe-se que o Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma importante ferramenta utilizada na análise dinâmica de estruturas, principalmente pelos bons resultados apresentados. O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), é uma extensão do MEF, que tem por característica trabalhar com espaços de aproximações locais, que consistem em funções, não necessariamente polinomiais, que apresentam informações sobre a solução da equação diferencial a ser resolvida. Ao aplicar métodos numéricos na análise de vibrações livres de estruturas, a solução numérica recai em um problema de autovalores e autovetores generalizado. Mesmo o MEFG apresentando excelentes resultados para o problema de autovalores generalizado com soluções mais precisas do que os refinamentos h e p do MEF, em alguns casos, obtém-se autovalores negativos, dependendo da precisão empregada nas rotinas computacionais. Sendo assim, este trabalho propõe uma análise da sensibilidade gerada pela construção numérica das matrizes de massa e rigidez do MEFG para o caso de vibração livre de barra e viga de Euler Bernoulli. São aplicados também outros métodos de enriquecimento e comparados os resultados, a fim de verificar se o número de condição da matriz de massa, pode ser empregado como uma medida de sensibilidade do método numérico utilizado. Palavras-chave: Condicionamento. Problema de Autovalores Generalizado. Método dos Elementos Finitos Generalizados. Análise dinâmica.

Abstract: It is known that the Finite Element Method (FEM) is an important tool used in the dynamic analysis of structures, mainly by the good results presented. The Generalized Finite Element Method (GFEM) is an extension of the FEM whose feature work spaces with local approaches, consisting of functions, not necessarily polynomial, which present information about the solution of the differential equation to be solved. By applying numerical methods in the analysis of free vibrations of structures, the problem is reduced to numerical solution of a generalized eigenvalue problem. Even GFEM showing excellent results for generalized eigenvalue problem and more accurated solutions than h and p FEM refinements, in some cases, negative eigenvalues are obtained, depending on the precision used in computer routines. Thus, this work proposes a sensitivity analysis generated by the numerical construction of the mass and stiffness matrices of GFEM in case of free vibration bar and Euler Bernoulli beam problems. Other enrichment approaches were also applied comparing the results in order to verify that the condition number of mass matrix can be employed as a measure of sensitivity of the used numerical method. Keywords: Conditioning. Generalized Eigenvalue Problem. Generalized Finite Element Method. Dynamic Analysis.