Desigualdades ótimas de entropia e moser em variedades riemannianas : três contribuições em análise geométrica

Abstract

Resumo: Seja (M , g ) uma variedade Riemanniana suave, compacta, sem bordo com dimensão n > 2 . Inicialmente, provamos que a desigualdade de Moser Riemanniana ótima: \u\r dvg^j < ^ A (p ,n ) p \Vgu\p dvg^j + Bapt ^ J \u\p dv^j ^ \u\p dv^j é válida para toda função u G H l'p(M) com p > 1, r = Ah±e1 e 1 < r < m in{2,p}, No caso em que 1 < r < m in{2 ,p}, ocorre a existência de funções extremais. Em seguida, mostramos a validade da desigualdade de p-entropia Riemanniana ótima. Precisamente, estabelecemos que para toda função u G H 1,P(M) com ||tt||LP(M) = 1, verifica-se J \u\p log(\u\p) dvg < ~ log \V gu\p dvg^j + B( p,r) em que p > 1 e 1 < r < m in{2 ,p}, Quando 1 < r < m in{2 ,p} ou r = p < 2 , a desigualdade acima admite função extremaL. Além disso, aplicamos a desigualdade de p-entropia Riemanniana ótima para garantir que o semigrupo associado ao problema de Cauchy com equação de difusão não linear: Ut = Ap i u ^ ) em que {x, t) G M x (0, +oo), u(-, 0) = / para algum dado inicial / G L l (M), f > 0 é hipercontrativo. Por fim, mostramos a validade da desigualdade de r-entropia Riemanniana ótima, isto é, para toda função u G H 1,P(M) com ||t(||lgm ) = 1, tem-se \u\r log(\u\r) dv9 < ------- r^ - -----log IM np - nr + pr Aent / \V9u\P dvg + Bent / \u\P dvg Jm Jm com 1 < r < p < 2, Se 1 < r < p < 2, então existe função extremal.

Abstract: Let (M, g) be a smooth compact Riemannian manifold of dimension n > 2 without boundary. First, we prove the validity of the optimal Moser inequality: I \u\r dvg^j < ^A(p,n)p \Vgu\p dvg^j + Bapt ^ J \u\p dv^j ^ \u\p dvg for all function u G H 1,P(M) where p > 1, r = anci 1 < T < min{2,p}, We prove the existence of an extremal function for the optimal inequality above when 1 < r < m in{2 ,p}. Next, we establish the validity of the general optimal Lp-entropv: J \u\p log(\u\p) dvg < ^ lo g \Vgu\p dvg^j + B(p,r) for all function u G H 1,P(M) with ||tt||LP(M) = 1 where p > 1 and 1 < rm in {2 ,p }. When 1 < r < m in{2,p} we show the existence of an extremal function. Using this inequality, we prove that the semigroup associated with the Cauchy problem Ut = Ap i u ^ ) em que {x, t) G M x (0, +oo), u(-, 0) = / for some / G L l (M), f > 0 is hypercontractive. Finally, we show the validity of the optimal Lr-entropv: \u\r log(\u\r) dv9 < ------- -Y----- log IM np - nr + pr Aent / \ VgU\P dvg + Bent / \u\P dvg J m J m for all functions u G H 1,P(M) with \ \ u \ \ L r = 1 where 1 < r < p < 2, If 1 < r < p < 2 we show there exists an extremal function.