Quiver representations and reflection functors

Abstract

Resumo: Esta dissertação tem como foco a teoria de representação de quivers. Essa teoria é um campo fascinante de estudo que tem conexões profundas com outras áreas da matemática, incluindo geometria algébrica, teoria de Lie e topologia. Também tem aplicações importantes em física, ciência da computação e outras áreas da ciência e engenharia. Uma ferramenta importante que será usada nesta dissertação são os sistemas de raízes, que são coleções de vetores em um espaço Euclidiano que codificam as simetrias de certas estruturas algébricas, como álgebras de Lie e grupos de Lie. No contexto da teoria da representação de quivers, os sistemas de raízes desempenham um papel importante na classificação de representações, fornecendo uma ferramenta poderosa para entender a estrutura desses objetos matemáticos. Começamos examinando os conceitos fundamentais da teoria da representação de quivers, incluindo álgebras de caminho, representações simples e indecomponíveis, o grupo de Grothendieck, módulos projetivos e a forma de Euler. Em seguida, estabelecemos várias propriedades chave de órbitas e funtores de reflexão, que são as duas ferramentas necessárias para provar o teorema de Gabriel. Este teorema nos dá uma bijeção entre representações indecomponíveis e raízes positivas do sistema de raízes. No entanto, este teorema só é válido para um caso especial de quivers, os chamados quivers de Dynkin. Para estender o escopo do teorema de Gabriel além dos quivers de Dynkin, investigaremos as representações preprojetivas e preinjetivas, bem como o quiver de Auslander-Reiten, que fornece informações sobre a estrutura de uma variedade maior de quivers.

Abstract: This dissertation focuses on the theory of quiver representation. Quiver representation theory is a fascinating field of study that has deep connections to other areas of mathematics, including algebraic geometry, Lie theory, and topology. It also has important applications in physics, computer science, and other areas of science and engineering. Root systems will be an important tool used in this dissertation, which are collections of vectors in a Euclidean space that encode the symmetries of certain algebraic structures, such as Lie algebras and Lie groups. In the context of quiver representation theory, root systems play an important role in the classification of representations, providing a powerful tool for understanding the structure of these mathematical objects. We begin by examining the fundamental concepts of quiver representation theory, including path algebras, simple and indecomposable representations, the Grothendieck group, projective modules, and the Euler form. Next, we establish several key properties of orbits and reflection functors, which are the two tools needed to prove Gabriel's theorem. This theorem gives us a bijection between indecomposable representations and positive roots of the root systems. However, this theorem only holds for a special case of quivers, the socalled Dynkin quivers. To extend the scope of Gabriel's theorem beyond Dynkin quivers, we will investigate preprojective and preinjective representations, as well as the quiver of Auslander-Reiten, which provide new insights into the structure of a wider range of quivers.