Um estudo sobre ações e representações parciais

Abstract

Resumo: Neste trabalho investigamos ações e representações parciais de grupos, com maior ênfase no estudo de representações parciais H-globais. O estudo de ações parciais de um grupo G está ligado ao das ações de um semigrupo inverso S(G), o qual gera uma álgebra que também é originada através das relações de representações parciais de G, a álgebra Kpar(G). Além disso, estudar representações parciais de G é equivalente a estudar módulos sobre esta álgebra. Mostramos também que Kpar(G) é isomorfa à álgebra de um grupoide, o que permite verificar que Kpar(G) é semissimples e determinar sua dimensão. Em seguida restringimos o estudo a representações parciais que são representações usuais quando restritas a um subgrupo H fixo, chamadas de representações parciais H-globais. Mostramos que resultados análogos aos anteriores continuam válidos, isto é, que essas representações parciais correspondem aos módulos sobre uma álgebra CH par(G) e que esta é isomorfa à álgebra de um grupoide. Por fim, ao estudar as representações irredutíveis desta última surge um par de funtores oriundos da restrição e indução de representações; mostramos que estes funtores formam um par adjunto, estendendo para representações parciais o resultado conhecido como Reciprocidade de Frobenius.

Abstract: In this dissertation we investigate actions and partial representations of groups, with greater emphasis on the study of H-global partial representations. The study of partial actions of a group G is linked to that of the actions of an inverse semigroup S(G), which generates an algebra that is also originated through the relations of partial representations of G, namely Kpar(G). Furthermore, studying partial representations of G is equivalent to studying modules on this algebra. We also show that Kpar(G) is isomorphic to the algebra of a groupoid, which allows us to verify that Kpar(G) is semisimple and determine its dimension. Then we restrict the study to partial representations that are usual representations when restricted to a fixed H subgroup, called H-global partial representations. We show that similar results to the previous ones remain valid, that is, that these partial representations correspond to the modules over an algebra CH par(G) and that this is isomorphic to the algebra of a groupoid. Finally, when studying the irreducible representations of the latter, a pair of functors arises from the restriction and induction of representations; we show that these functors form an adjoint pair, extending to partial representations the result known as Frobenius Reciprocity