O problema do autovalor para operadores elípticos

Abstract

Resumo : Nosso objetivo nessa monografia e demonstrar a existência de um conjunto enumerável de funções em H ¹0 que solucionam o problema do autovalor para operadores elípticos, e alem disso, mostrar que esse conjunto define uma base ortonormal enumerável do espaço de Lebesgue L² , todos os autovalores sao números reais positivos é o autovalor principal e simples, onde esse último resultado será obtido pelo Princípio Variacional para o autovalor principal. Tendo como ponto de partida o Espaço de Sobolev sobre um aberto U de Rn , mostraremos que as funções nesse espaço podem sem aproximadas, inclusive na fronteira, por funções suaves, estendidas para além do domínio U, e entre outras propriedades do Espaço de Sobolev, mostraremos tambem o Teorema da Compacidade de Rellich-Kondrachov, no qual mostra que espaços de Sobolev estao imersos em outros espaços de funções. O uso dessas propriedades, juntamente com resultados de Analise Funcional, permitirão mostrar sob quais hipoteses as equações elípticas de segunda ordem admitem soluções fracas, bem como a regularidade dessas soluções. Por fim, adicionando os Princípios do Maximo obteremos os resultados necessários para demonstrar o problema proposto

Abstract: Our objective in this undergraduate thesis is to proof the existence of an enumerable set of functions in H¹0(U) that solve the eigenvalue problem for elliptical operators, and furthermore, show that this set provide a countable orthonormal basis of the Lebesgue space L², all eigenvalues are positive real numbers and the principal eigenvalue is simple, where this last asserion will be obtained by the Variational Principle for the principal eigenvalue. Taking the Sobolev space as a atarting point over an open U of Rn, , we will show that the functions in this space can be approximated, including at the boundary, by smooth functions, extended beyond the U, and among other properties of the Sobolev space, we will also show the Rellich-Kondrachov Compactness Theorem, which shows that Sobolev spaces are embedded in other functions spaces. The use of these properties, together with Functional Analysis, will show under which hypotheses the second-order elliptic equations admit weak solutions, as well as the regularity of these solutions Finally, adding the Maximal Principles we will obtain the necessary results to proof the proposed problem.