Uma conexão entre emaranhamento e fatoração de inteiros

Abstract

Resumo : Estados quânticos emaranhados são considerados muito importantes, tanto a partir do ponto de vista fundamental quanto quando se considera suas possíveis aplicações tecnológicas. A importância desses estados pode ser ilustrada pelo seu papel fundamental na compreensão do famoso debate gerado por Einstein, Podolsky e Rosen, em 1935. Além disso, eles estão entre os protagonistas nos estudos relativos à implantação da computação quântica. Através de uma revisão de conceitos fundamentais para o estudo do emaranhamento, introduzimos propriedades básicas de vetores no espaço de Hilbert, bem como definimos o operador densidade nesse espaço. Em particular, para estados puros compostos por duas partes, ainda mostramos como obter o operador densidade reduzido, quantidade fundamental para a quantificação de emaranhamento. Em seguida, discorremos sobre o conceito de entropia, abordando-se a entropia de Shannon e a de von Neumann, da qual obtém-se a entropia linear. Esta última, quando aplicada ao operador densidade reduzido, torna-se uma expressão simples de quantidade de emaranhamento. Motivado por uma bem-sucedida conexão entre o tópico de partição de inteiros e a descrição quântica de um gás de bósons, investigamos um sistema físico particular para o qual é possível estabelecer uma conexão entre fatoração de inteiros e propriedades da dinâmica de emaranhamento. Embora não tenhamos estabelecido uma ligação clara entre os dois assuntos, neste trabalho indicamos um caminho a seguir.

Abstract: Entangled quantum systems are considered very important, both from the fundamental and technological point of view. The importance of these states can be illustrated by their crucial role in comprehension of the famous debate brought by Einstein, Podolsky and Rosen, in 1935. Furthermore, they are among the protagonists in the study related to the implementation of quantum computing. Throughout a revision of fundamental concepts to study entanglement, we introduce basic properties of vectors in a Hilbert space, as well as define density operators in this space. Particularly, for pure states composed by two parts, we also show how to obtain the reduced density operator, a fundamental quantity for the quantification of entanglement. Thus, the concept of Shannon and von Neumann entropy are shown, from which we obtain the linear entropy. This last one, when applied to the reduced density operator, becomes a simple expression to quantify entanglement. Motivated by a successful connection between the integer partition topic and a bose gas description, we investigate a particular physical system, for which it is possible to establish a connection between integer factorization and properties of entanglement dynamics. Although we did not find a clear connection between these two subjects, in this work we indicate a route to follow.