Uma relação entre sistema de raízes e álgebra cluster

Abstract

Resumo : As álgebras cluster foram introduzidas por Fomin e Zelevinsky no ano de 2002 como uma Z-subálgebra do corpo Q(x1; x2, …, xn). A partir do conjunto inicial de variáveis X = {x1; x2, …, xn} construímos novas variáveis, chamadas variáveis cluster, utilizando uma regra que é chamada de mutação de variáveis. Para defini-la, utilizamos um quiver (grafo orientado) com n vértices, sem 2-ciclo e sem laço e um algoritmo chamado de mutação de quiver. No caso desse quiver ser Dynkin tal processo de mutação é finito e, nessa situação, essa teoria se relaciona com sistema de raízes. Um sistema de raízes é um subconjunto finito gerador de um espaço euclidiano (espaço vetorial com produto interno real usual) que satisfaz as seguintes propriedades: se alfa é raiz, o único múltiplo de alfa no sistema de raízes é -alfa e a reflexão sobre alfa deixa tal subconjunto invariante. O objetivo deste trabalho é mostrar uma relação entre as variáveis cluster e as raízes do sistema de raízes.

Abstract : The cluster algebras were introduced by Fomin and Zelevinsky on the year of 2002 as a Z-subalgebra of the eld Q(x1, x2, …, xn). From the initial cluster X = {x1; x2; ; xn} we build new variables, called cluster variables, using a rule that we call variable mutation. In order to dene it, we use a quiver (oriented graph) with n vertex, without 2-cicle and loop and an algorithm called quiver mutation. When this quiver is Dynkin the mutation process is nite and, in that case, this theory can be related to root system. A root system is a nite subset generator of an Euclidean space (vector space with real dot product) which suces the following: if alfa is a root, the only multiple of alfa in root system is -alfa the reexion under leave this subset unchanged. The aim of this work is to exhibit a correlation between cluster variables and the roots of root system.