Grupos algébricos e Algebras de Hopf

Abstract

Resumo : A todo grupo algébrico pode-se relacionar duas estruturas distintas: grupos algébricos afins e grupos algébricos projetivos. Neste trabalho apresentamos esses dois tipos de grupos. Inicialmente desenvolvemos um exemplo de grupo algébrico projetivo, o grupo de uma curva eíiptica. Em sequência estudamos a teoria geral dos grupos algébricos afins e a sua relação com as álgebras de Hopf. Em especial demonstramos, via a teoria de ações de grupos algébricos e das representações de suas álgebras de funções, que todo grupo algébrico afim pode ser linearizado, isto é, pode ser realizado como um grupo de matrizes. Em conclusão discutimos alguns exemplos de linearização de grupos algébricos afins.

Abstract : To every algebraic group we can associate two distinct structures: affine algebraic groups and projective algebraic groups. In this dissertation we present these two types of groups. We initially develop an example of a projective algebraic group, the group of an elliptic curve. Next, we study the general theory of affine algebraic groups and their relation with Hopf algebras. In particular, we prove, via the theory of actions of algebraic groups and the representations of their algebra of functions, that every affine algebraic group can be linearized, that is, it can be realized as a matrix group. In conclusion we discuss some examples of linearization of affine algebraic groups.