Ondas solitárias e a equação de KdV

Abstract

Resumo: Em 1834, enquanto caminhava pelas margens do Union Canal em Edimburgo, o engenheiro naval John Scott Russell presenciou a formação de uma onda que tomou a forma de uma elevação solitária e viajou por este canal por um longo tempo sem mudar sua forma, a qual denominou Onda de Translação, que, a posteriori, passou a ser chamada de onda solitária. A modelagem matemática para o perfil desta onda veio apenas em 1865 com a dedução da equação de KdV atribuída aos matemáticos neerlandeses Diederik Korteweg e Gustav de Vries. O objetivo principal deste trabalho é estudar a dedução da equação de KdV. Mais precisamente, mostramos como a KdV pode ser obtida de três formas diferentes: por meio das equações de Boussinesq, via teoria do potencial e diretamente das equações de Euler. Além disso, investigamos a representação matemática da onda solitária. Ademais, discutimos sobre as grandezas que são preservadas na equação de KdV. A principal técnica empregada no nosso estudo é a análise assintótica com expansões assintóticas feitas em torno dos parâmetros de não-linearidade e dispersão. Apresentamos os conceitos, os cálculos e demonstrações de forma mais simples possível de modo a tornar o texto acessível aos leitores não familiarizados com o tema.

Abstract: In 1834, while walking on the side of the Union Canal in Edimburgh, John Scott Russell, a naval engineer, observed the motion of a wave which assumed the form of a solitary elevation and traveled along the canal for a long period of time without changing its form. Russell named it the wave of translation, which later on would come to be known as a solitary wave. The mathematical modeling for the profile of this wave was discovered only in 1865, when dutch mathematicians Diederik Korteweg and Gustav de Vries derived the KdV equation. The main goal of this dissertation is to study the derivation of the KdV equation. More precisely, we show how the KdV can be obtained from three different ways: through the Boussinesq equations, via potential theory and directly from the Euler equations. Besides, the mathematical representation of the solitary wave and conserved quantities are also discussed. The main approach that we employ in this study is asymptotic analysis through asymptotic expansions around the nonlinearity and dispersion parameters. We present the concepts, calculations and demonstrations in the simplest way possible so that this text could be accessible to any reader who is not familiarized with the theory