Equações de onda e séries de Fourier

Abstract

Resumo : As equações de onda são um dos exemplos mais práticos de Equações Diferenciais Parciais, estando presentes em estudos de diversas áreas da ciência. Em nosso meio, podemos facilmente encontrar as ondas na música que ouvimos, na televisão, no celular e microondas que usamos ou ainda nas próprias ondas do mar. Em vista disso, este trabalho buscou detalhadamente obter soluções para problemas envolvendo equações de onda, além da análise da convergência e regularidade destas soluções. De maneira geral, os problemas de ondas apresentam a equação de ondas a ser resolvida juntamente com algumas características que denominamos condições de contorno e iniciais. Em nosso estudo, encontramos, via separação de variáveis, a solução formal do problema linear e homogêneo, garantindo na sequência as condições adicionais. Isto nos levou a obter soluções em uma forma específica de séries trigonométricas, conhecidas como séries de Fourier. A utilização da teoria de Fourier nos possibilitou garantir soluções bem definidas e que, além disso, possam ser aplicadas aos teoremas de convergência conhecidos na literatura básica, como as desigualdades de Young e de Bessel e o clássico M-Teste de Weierstrass. Com nossas experimentações, fomos capazes de resolver o problema geral de equações de ondas, comprovar a convergência das soluções e ainda constatar a existência de uma relação direta entre a regularidade dessas soluções e a regularidade das condições iniciais. Ao longo do estudo, formalizamos os resultados na forma de teoremas e corolários, fazendo as respectivas generalizações, e também conseguimos ampliar nosso trabalho apresentando a resolução de problemas de ondas no caso bidimensional. Ao final, concluímos que as séries de Fourier, em suas diversas formas, são ferramentas eficientes para a obtenção de soluções explícitas para os problemas de ondas, tanto no caso unidimensional como no caso das membranas em suas diferentes geometrias

Abstract: Wave equations are one of the most practical examples of Partial Differential Equations, being present in studies of several areas among science. In our ambient, we can easily find waves in music we hear, television, cell phones and microwaves we use or even at the sea waves themselves. Thus, this work sought to reach, in detail, solutions to problems involving wave equations, besides the analysis of the convergence and regularity of these solutions. In general, wave problems present the wave equation to be solved, along with some characteristics that we denominate boundary and initials conditions. In our study, we found, via separation of variables, the formal solution of the linear and homogeneous problem, consequently verifying the additional conditions. This led us to obtain solutions in a specific form of trigonometric series, known as Fourier series. The use of Fourier’s theory has allowed us to guarantee well-defined solutions and, in addition, can be applied to convergence theorems known in the basic literature, such as the inequalities of Young and Bessel and the classic Weierstrass M-Test. With our experiments, we were able to solve the general problem of wave equations, proving the convergence of the solutions and also verifying the existence of a direct relationship between the regularity of these solutions and the regularity of the initials conditions. Throughout the study, we formalized the results in theorems and corollaries, making the respective generalizations, and we have also been able to expand our work by presenting wave solving in the two-dimensional case. Finally, we conclude that Fourier series, in their various forms, are efficient tools to obtain explicit solutions for wave problems, both in the one-dimensional case and in the case of membranes in their different geometries.