A geometria da relatividade restrita e geral

Abstract

Resumo : Nesse trabalho, abordaremos os aspectos básicos da Teoria de Relatividade, com destaque a Relatividade Geral, bem como o espaço de Minkowski e alguns tópicos da geometria pseudoRiemanniana. A Relatividade é exposta no primeiro, sexto e sétimo capítulo, onde são exploradas as bases e algumas consequências dessa teoria. Nos capítulos dois, três e quatro é abordado o espaço de Minkowski e a geometria diferencial deste espaço, seguindo de perto a geometria diferencial clássica (Euclideana). Por fim, a parte referente a geometria pseudo-Riemanniana é abordada no capítulo cinco, onde são feitos resultados necessários para o entendimento das bases onde a Relatividade Geral é construída, mas também justificar algumas fórmulas que surgem na teoria de superfícies do espaço de Minkowski e dar uma noção básica sobre geometria pseudoRiemanniana. Os objetivos deste trabalho são os seguintes: expor a teoria da relatividade sob o ponto de vista matemático, justificando logicamente as consequências de princípios que são enunciados ao longo do texto e suas equivalências, como por exemplo que o princípio da equivalência de Einstein implica os postulados da Teoria Geométrica da Gravidade; e introduzir 'a geometria em variedades pseudo-Riemannianas apresentando conceitos e alguns resultados comuns á geometria Riemanniana como geodésicas e curvatura, e técnicas usadas em geometria, como utilização de grupos de isometrias para resolver problemas ou simplificar os mesmos, por exemplo como mostrar que as partículas livres no espaço de Schwarschild descrevem trajetórias planas

Abstract: In this work, we approach the basic aspects of Relativity Theory, mainly General Relativity, as well as the Minkowski Space and some topics of pseudo-Riemannian geometry. The Relativity, is presented in chapters one, six and seven, where the basis and consequences of this theory are explored. In chapters two, three and four, contain Minkowski space and its differential geometry as subject, studying some results inspired on the classical (Euclidean) differential geometry. The part presenting the pseudo-Riemannian geometry is found in the chapter five, where the results necessary for the understanding of the basis of the General Relativity, but also to justify some formulas from the theory of surfaces in the Minkowski space and give the notions of pseudo-Riemannian geometry. The objectives of this work are: show the theory of relativity under a mathematical point of view, logically justifying the consequences of some principles and its equivalences, for example the Einstein Equivalence Principle implies the Metric Theory of Gravity postulates; and introduce to the geometry of pseudo-Riemannian manifolds presenting concepts common to Riemannian geometry, such as geodesics and curvature, and techniques used in geometry, as studying the isometry group to solve problems or simplify then, for example how to show that free particles in the Schwarschild’s space have planar trajectories.