Análise da correlação entre escalares no problema de Rayleigh-Bénard por meio das equações de Lorenz

Abstract

A fim de construir um análogo relativamente simples dos escoamentos convectivos que ocorrem na natureza, este estudo propõe a descrição matemática do problema de Rayleigh-Bénard, o qual consiste em um fluido contido entre duas placas planas paralelas, onde a placa inferior possui maior temperatura que a placa superior. Para isso, é feito um tratamento analítico das equações fundamentais da Mecânica dos Fluidos e, seguindo a metodologia de Saltzman (1962), propõe-se uma solução em séries de Fourier. Os coeficientes destas séries são essencialmente as variáveis dependentes do sistema de Lorenz (1963), e contêm a variabilidade temporal do problema. Seguindo Chandrasekhar (1961), é realizada uma análise de estabilidade linear sobre as equações, e seus resultados permitem uma interpretação adequada da solução numérica do sistema de Lorenz. Diferente da maior parte da bibliografia sobre o tema, este estudo inclui um escalar passivo no escoamento, e avalia seu comportamento conjunto com a temperatura, a qual é tratada como um escalar ativo. Constata-se que a introdução de um segundo escalar no problema produz um comportamento assimétrico nas soluções quando varia-se o número de Lewis, razão entre as difusividades moleculares dos escalares. Uma explicação física para tal comportamento é proposta. A representação das soluções em um espaço de fase revela a existência de atratores estranhos, cuja forma depende do número de Lewis. Verificase que os focos destes atratores não correspondem aos seus centros de massa. Além disso, os resultados sugerem que escalares com diferentes difusividades moleculares não se correlacionam perfeitamente, indicando que possivelmente suas difusividades turbulentas dependem de propriedades relacionadas a uma pequena escala espacial. As soluções das equações de Lorenz concordam com várias evidências experimentais descritas na literatura, embora estas equações tenham origem em séries de Fourier truncadas. Ainda assim, suas soluções devem ser mais distantes da realidade à medida em que se aumenta a instabilidade do problema de Rayleigh-Bénard, razão pela qual métodos mais sofisticados devem ser empregados para confirmar os resultados deste estudo. Futuramente, deve-se recuperar as variáveis que descrevem o problema em diversos pontos do escoamento, para que sejam calculados fluxos turbulentos de calor e massa de soluto.