Desenvolvimento e implantação de uma métrica de qualidade de malhas-2D triangulares : a

Abstract

Resumo: Malhas podem ser definidas genericamente como o resultado obtido através da realização de um processo de quebra de um determinado domínio físico em um conjunto de elementos menores, com o objetivo de facilitar a obtenção de uma solução numérica para uma determinada Equação Diferencial Parcial (PDE). Este processo de discretização de domínio tem sido automatizado através da utilização de vários tipos de algoritmos implementados em diversos sistemas computacionais, com o objetivo de atender à crescente demanda por Meshing Tecnology. Uma das principais facilidades oferecidas por tais tecnologias está voltada para a busca de soluções de problemas de engenharia onde o Método dos Elementos Finitos (MEF) é aplicável. De fato, especialistas nestas técnicas desejam discretizar domínios geométricos bastante complexos, freqüentemente constituídos de milhares ou até mesmo de milhões de elementos, com o menor número de interações possível. A despeito dos benefícios auferidos pela aplicação destas tecnologias, dados pelo alto nível de transparência, um importante aspecto é levantado: como desenvolver a sensibilidade necessária para analisar o relacionamento existente entre a qualidade de uma malha, num senso global, e a qualidade do elemento, em um senso local, com um mínimo de interações? O propósito desta dissertação é fornecer uma nova medida de qualidade para avaliar e comparar tanto malhas-2D não-estruturadas, num senso global, como avaliar e comparar seus próprios elementos triangulares, em um senso local, denominada "Relação Perimetral - RP" (‘perimetral ratio). Este conceito introduz cinco proposições e um elemento virtual de comparação, denominado "Triângulo Ideal Equivalente - TIE" (‘equivalent ideal triangle). Através de sua aplicação, demonstra-se que esta nova medida pode ser usada como uma "assinatura" de qualidade de malhas e de seus elementos triangulares. Espera-se, também, contribuir tanto para o entendimento do processo de geração de malhas como para justificar a sua relevância na solução numérica para problemas de engenharia. Sua aplicabilidade e funcionalidade são melhores compreendidas através de uma simples e didática aplicação Web, geradora de malhas-2D, que permite a avaliação de uma dada malha, ou de um conjunto delas, oferecendo uma medida de qualidade global e uma respectiva métrica de qualidade local para cada um de seus elementos. Para demonstrar a aplicabilidade da nova medida de qualidade "RP" e as capacidades da aplicação Web, dois estudos de caso são apresentados. Em um deles, um conjunto de três malhas que representam o mesmo domínio geométrico é avaliado. Este domínio geométrico descreve um lago localizado na região norte dos EUA, denominado "Lake Superior, e é muito utilizado por cientistas e geometristas para demonstrar as suas técnicas e algoritmos de geração de malhas não-estruturadas. A nuvem de pontos de cada malha foi obtida diretamente de Schewchuk, [SHEW_97], que apresenta as três malhas geradas pelo processo denominado "Delaunay Refinement’, com restrições para ângulos internos mínimos dos elementos triangulares de, respectivamente, 0°, 5° e 15°.

Abstract: Meshing can be defined as the process of breaking up a physical domain into smaller elements in order to facilitate the numerical solution of a partial differential equation. This process has been automatized through several algorithms under various computational systems to attempt the increasing "push" of meshing technology. In fact, analysts expect to mesh complex domains constituted of thousands or even billions of elements with low level of interactions. In spite of high transparency, one difficulty arises: how to develop the necessary sensitivity to analyse the relationship between the mesh quality, in global sense, and the element quality, in local sense, with a minimum number of interactions? The objective of this dissertation is to provide a new quality measure to evaluate and compare both unstructured 20-Meshes, in global sense, and their triangular elements, in local sense, called ‘perimetral ratio’ ("Relação Perimetral - RP’). This concept introduces five propositions and a virtual element of comparison, called ‘equivalent ideal triangle’ ("Triangulo Ideal Equivalente - TIE’). Its functionality becomes clear through a simple and didactic two dimensional meshing web application, that permits the evaluation of a given mesh, or a set of meshes, offering a measure of global quality and a respective local metric for each one of the elements. The author hopes to contribute to the understanding of the meshing process and to its relevance in numerical solution. The web application was designed in an object oriented fashion using Java Language, in order to increase the access and to facilitate the ability for meshing construction and analysis. To demonstrate the process and the application capabilities, a set of Lake Superior's meshes, that was generated by the Delaunay Refinement process, are measured.