Aplicação do método dos elementos finitos generalizados para análise dinâmica de placas de Kirchhoff-Love

Abstract

Resumo: A modelagem matemática da vibração livre de placas finas é um assunto importante para engenheiros e pesquisadores das mais variadas áreas da ciência. Tal importância reside principalmente no fato de que muitas estruturas sujeitas a ações dinâmicas podem ser representadas por esse modelo. Metodologias numéricas fundamentadas no Método Elementos Finitos (MEF) tem sido amplamente utilizadas em problemas da análise dinâmica e demonstrado bons resultados. Neste contexto, o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) surge como uma ferramenta poderosa. Aumentando o espaço de solução aproximada, o MEFG melhora a precisão das soluções sem refinar a malha. O presente estudo se propôs a avaliar diferentes enriquecimentos para o MEFG na análise de vibrações livres de placas finas. Funções trigonométricas, hiperbólicas e polinomiais especiais (tais como polinômios de Legendre) foram empregados nos problemas de autovalores associados. Todas as funções de enriquecimento também foram combinadas com diferentes funções partição da unidade. A fim de compreender melhor o comportamento do MEFG, compararam-se os resultados obtidos com duas outras abordagens numéricas enriquecidas: o Método dos Elementos Finitos Hierárquico (MEFH) e o Método dos Elementos Finitos p-Fourier. Todos os resultados aproximados foram comparados com soluções analíticas de referência da literatura. Pela análise de convergência para as frequências naturais mais baixas, foi possível concluir que as abordagens mais precisas foram as do MEFG. Análises de espectro de soluções e parâmetros de estabilidade numérica também foram realizadas paralelamente. Como observado em trabalhos correlatos anteriores, o MEFG pode diminuir sua precisão para a última parcela do espectro de soluções e mostrar aumentos significativos no número de condição da matriz de massa. Por fim, pode-se concluir que o MEFG mostrou resultados uniformemente melhores na análise de convergência, quando comparado ao refinamento h do MEF convencional e ao MEF p-Fourier. Com ótimos resultados na análise de convergência, o MEFG forneceu resultados próximos e, por vezes, superiores ao MEFH. As duas abordagens propostas com maiores taxas de convergência foram utilizando enriquecimentos trigonométricos aliados a partições da unidade Lagrangeanas quadráticas e utilizando enriquecimentos via polinômios de Legendre associados a partições da unidade trigonométricas.

Abstract: Mathematical modeling of thin plates free vibration is an important issue from the point of view of engineering and researches from many fields of science. Such importance lays mainly on the fact that a lot of structures subjected to dynamical effects can be represented by this model. Numerical methodologies based on the Finite Element Method (FEM) are widely employed in structural dynamic analysis and show good results. In such context, the Generalized Finite Element Method (GFEM) arises as a powerful tool. By increasing the approximated solution space, the GFEM improves the solution accuracy without increase the mesh size. The present study proposes and evaluates different enrichments for the GFEM in free vibration analysis of thin plates. Trigonometrical, hyperbolical and special polynomials functions (such as Legendre polynomials) were employed in the associated eigenvalue problem. All these enrichment functions were also combined with different partitions of unity. In order to better understand the GFEM behavior, one also compared the results with two other enriched approaches: The Hierarchical Finite Element Method (HFEM) and the p-Fourier Finite Element Method. All the numerical results were then compared with analytical results provided by literature. By the convergency analysis of the lowest natural frequencies was possible to conclude that the more accurated approaches were the GFEM ones. The spectrum analysis and numerical stability parameters were also carried out simultaneously for all the numerical solutions. As observed for earlier applications on structural analysis, the GFEM suddenly decays the solutions accuracy on higher frequencies and might show substantial increases on the condition mass matrix number. Finally, one can conclude that the GFEM approaches reveal uniformly better results in convergence terms comparing to the h-refinement FEM and p-Fourier FEM. With great convergence results, GFEM accuracy is similar and sometimes better than the HFEM accuracy. The more convergent GFEM approaches were obtained by using quadratic Lagrangian partition of unity functions on trigonometrical enrichments and trigonometrical partition of unity functions on Legendre polynomials enrichments.