Proposta de um procedimento híbrido para estimar e reduzir o erro de iteração em problemas de transferência de calor

Abstract

Resumo: Este trabalho tem como objetivo principal aperfeicoar as tecnicas de estimativas de erros de iteracao em problemas de transferencia de calor. Primeiro, propoe-se um novo estimador para erros de iteracao e, a partir das estimativas obtidas, propoe-se um metodo para melhorar as previsoes de erros de iteracao em faixas de iteracoes em que o estimador nao apresenta resultados acurados. O estimador proposto fornece previsoes dos erros de iteracao baseadas na taxa de convergencia da variavel de interesse. Seu desempenho foi testado em duas equacoes unidimensionais: equacao de Poisson e equacao de adveccao-difusao, e uma bidimensional: equacao de Laplace. As equacoes foram discretizadas por meio do Metodo das Diferencas Finitas (MDF) e resolvidas em malhas uniformes. Os sistemas de equacoes resultantes das discretizacoes foram resolvidos pelos solvers TriDiagonal Matrix Algorithm (TDMA), PentaDiagonal Matrix Algorithm (PDMA) e Gauss-Seidel (GS). O solver TDMA foi utilizado para obtencao da solucao direta das equacoes unidimensionais, o solver PDMA para obtencao da solucao de referencia da equacao bidimensional e o solver GS para estimar os erros a cada iteracao. A equacao de Laplace foi resolvida com/sem o metodo multigrid associado ao GS para aceleracao da convergencia. As variaveis escolhidas para analise dos resultados foram: o valor da funcao no ponto central do dominio (local), derivadas nos contornos (local) e valor medio da funcao (global). Os codigos foram implementados na linguagem Fortran 95, com precisao quadrupla, no ambiente Microsoft Visual Studio 2013. O estimador proposto foi avaliado com relacao a sua acuracia e confiabilidade e comparado aos principais estimadores de erros de iteracao presentes na literatura e observou-se que, para todos os problemas e variaveis analisadas, os estimadores possuem resultados semelhantes. As faixas iniciais e as faixas finais de iteracoes foram as que apresentaram as estimativas menos acuradas. Assim, a fim de melhorar as estimativas da faixa inicial, primeiramente, foram delimitadas, para cada variavel, as faixas de iteracoes em que o estimador apresenta as melhores estimativas de erros. Para isso, os criterios utilizados foram: convergencia da serie geometrica que representa o estimador proposto, convergencia monotonica da taxa de convergencia e a interferencia dos erros de arredondamento. Apos identificado o intervalo com as melhores estimativas, essas mesmas estimativas foram utilizadas para se obter solucoes com erros reduzidos de iteracao, chamadas de solucoes corrigidas. A ultima solucao corrigida do melhor intervalo de estimativas foi utilizada para recalcular as previsoes. Por meio desse metodo foi possivel melhorar as estimativas da faixa inicial de iteracoes. Combinando-se as previsoes de erro obtidas com o estimador e as previsoes melhoradas por meio do metodo proposto, obtem-se um procedimento hibrido para estimativa do erro de iteracao em todo o ciclo iterativo. Palavras-chave: Erro de iteracao. Metodo de diferencas finitas. Transferencia de calor computacional. Verificacao.

Abstract: This study aims to improve the techniques for estimates of iteration errors in heat transfer problems. First, a new estimator of iteration error is proposed and, based on the estimates obtained, a method is proposed to improve the iteration error predictions in ranges of iterations where the estimator does not present accurate results. The proposed estimator is an empirical estimator that provides iteration errors estimates based on interest variables convergence rate. Its performance was tested in two one-dimensional equations: Poisson's equation and advection-diffusion equation, and in a two-dimensional equation: Laplace's equation. All equations were discretized using the Finite Difference Method (FDM) in uniform meshes. The systems of equations resulting from the discretizations were solved by the TriDiagonal Matrix Algorithm solver (TDMA), PentaDiagonal Matrix Algorithm solver (PDMA) and Gauss-Seidel solver (GS). The TDMA solver was used to obtain the one-dimensional equations direct solution, the PDMA solver to obtain the bidimensional equation reference solution and the GS solver to estimate errors at each iteration. The Laplace equation was solved with and without the multigrid method associated with GS to accelerate convergence. The variables chosen to evaluate the results were: the function value at the central point of the domain (local), the derivative at the right boundary (local) and the function mean value (global). The codes were implemented in Fortran 95 language, with quadruple precision, in the Microsoft Visual Studio Community 2013. The proposed estimator was evaluated with respect to its accuracy and reliability and was compared to the main iteration error estimators found in the literature and it was observed that, for all problems and variables, the estimators have similar results. The iterations initial ranges and the final ranges were those that presented the least accurate estimates. Thus, in order to improve the estimates obtained, first it was delimited, for each variable, the iterations ranges in which the estimator presents the best error estimates. To that end, the criteria were: geometric series convergence that represents the proposed estimator, monotonic convergence and the interference of round-off errors. After identifying the interval with the best estimates, these same estimates were used to obtain solutions with reduced iteration errors. The best estimate range last solution with reduced iteration errors was used to recalculate the predictions. Through this procedure it was possible to improve the iteration initial range estimates. Combining the error estimates with the estimator and those improved by the proposed method, a hybrid procedure is obtained to estimate the iteration error throughout the iterative cycle. Keywords: Iteration error. Finite difference method. Computational heat transfer. Verification.