Método dos elementos finitos h-adaptativo : extensão da técnica de recuperação da densidade de erro isotrópica de ordem quadrática = h-Adaptive finite element method: extension of the isotropic error density recovery remeshing strategy of quadratic order

Abstract

Resumo: O Método de Elementos Finitos (MEF) é uma técnica para resolver numericamente problemas físicos comumente utilizada na engenheria. Um fator importante na obtenção de uma solução precisa e eficiente decorre da utilização adequada da malha de discretização. Tipicamente, técnicas h-adaptativas são empregadas para projeção de uma malha ótima, onde o erro estimado em cada elemento é distribuído e minimizado de acordo com um critério de malha ótima. Neste contexto, o presente trabalho estende e avalia o método de refino hadaptativo denominado de Recuperação da Densidade do Erro Isotrópica (IEDR) para elementos triangulares quadráticos. Inicialmente desenvolvida para elementos lineares, esta técnica baseia-se na recuperação de uma função densidade do erro em energia em conjunto com a solução de um problema de otimização que busca o tamanho do novo elemento. Dessa maneira, a metodologia IEDR aborda os erros provenientes do MEF de maneira que contenha informações locais com maior abrangência, já que, nesta metodologia, uma função densidade do erro é recuperada. Os parâmetros de qualidade de malha, obtidos através desta técnica, são comparados à tradicionais técnicas de projeto de malha denominada de Chp e à técnica Li- Bettess (LB). A estimativa dos erros de discretização é realizada através do estimador de erro a posteriori baseado em recuperação, onde os gradientes recuperados são obtidos pelo método Superconvergente de Recuperação de Padrões (Superconvergent Patch Recovery - SPR). A implementação computacional é elaborada no software Matlab®, sendo a geração de malha realizada pelo gerador Bidimensional Anisotropic Mesh Generator (BAMG). Resultados numéricos demonstram que o processo h-adaptativo baseado na técnica IEDR obtém malhas convergentes para problemas com e sem singularidade, as quais apresentam, em geral, vantagens em relação ao número de graus de liberdade, à convergência e aos parâmetros de malha em comparação à tradicional técnica Chp e vantagens comparada à técnica LB para elementos quadráticos. Palavras-chave: Elemento Triangular de Deformações Lineares. h-adaptividade. Método dos Elementos Finitos. Estimadores de erro a posteriori. Recuperação da Densidade do Erro Isotrópica.

Abstract: The finite element method (FEM) is a technique used to numerically solve physics problems which is often used in engineering. One factor in obtaining a solution that has acceptable accuracy is using adequate mesh discretization. Typically, h-adaptive techniques are used to determine new element sizes based on errors distributed among each element following an optimum mesh criterion. In this context, the current work proposes to extend and analyze the Isotropic Error Density Recovery (IEDR) h-refinement method for quadratic triangular finite elements. Initially developed for linear triangular finite elements, the extended technique is based on the recovery of an error density function, such that an optimization technique is used to search for the new element sizes. Hence, the IEDR technique utilizes more information of the local errors to design element sizes due to the recovery of an element error density function. The h-adaptive finite element method process based on the IEDR technique is compared to the traditionally used Chp and Li-Bettess mesh design techniques found in the literature. The discretization error estimates are achieved via a recovery based a posteriori error estimator, whereas the recovered gradients are obtained using the Superconvergent Patch Recovery Method. The algorithm is implemented using Matlab®, while the mesh generation is done by the Bidimensional Anisotropic Mesh Generator (BAMG). Results show, overall, that the meshes designed through the proposed methodology obtain superior mesh quality parameters, less degrees of freedom and better convergence in comparison with the traditional Chp remeshing methodology and advantages compared to the Li-Bettess element size estimation technique for quadratic elements. Keywords: Linear Strain Triangle. h-adaptativity. Finite Element Method. a posteriori Error Estimates. Isotropic Error Density Recovery.