Um comparativo dos fatores de convergência assintótica dos suavizadores do tipo linha no método multigrid

Abstract

Resumo: Estudos de problemas que envolvem anisotropia física são aplicados nas Ciências e nas Engenharias, como por exemplo, quando a condutividade térmica depende da dire- ção. Estes problemas podem ser representados por modelos matemáticos e resolvidos numéricamente pelos métodos iterativos. Neste trabalho, o método multigrid foi utilizado para acelerar a convergência destes métodos. O fator de convergência assintótica do multigrid foi determinado pela Análise de Fourier Local (Local Fourier Analysis, LFA) e empiricamente (com o auxílio do computador). O modelo matemático estudado foi a equação de difusão 2D anisotrópica, com ? coeficiente de anisotropia. A discretização da equação foi obtida através do Método de Diferenças Finitas (MDF) e o esquema central de segunda ordem (Central Differencing Scheme, CDS). O Esquema de Correção (Correction Scheme, CS), os métodos Gauss-Seidel ponto-a-ponto (ordenação lexicográfica e Red-Black), os métodos Gauss-Seidel linha-a-linha (Gauss-Seidel linha nas direções x e y, zebra nas direções x e y) foram usados na construção do multigrid. O melhor fator de convergência assintótica foi obtido mediante os métodos Gauss-Seidel zebra na direção x para 0 < ? 1 e Gauss-Seidel zebra na direção y para ? 1. Assim, foi proposto um método xy-zebra-GS, que se mostrou eficiente e robusto para os diferentes coeficientes de anisotropia. Também foi possível confirmar que os fatores de convergência calculados via LFA e empiricamente, estão em concordância.

Abstract: Studies of problems involving physical anisotropy are applied in Science and Engineering, for example, when the thermal conductivity depends on the direction. These problems can be represented by mathematical models and solved numerically by iterative methods. In this work, the multigrid method was used to accelerate the convergence of these methods. The asymptotic convergence factor of the multigrid was determined by Local Fourier Analysis (LFA) and empirically (by computer). The mathematical model studied was the anisotropic 2D diffusion equation, with ? anisotropy coefficient. For discretization of the equation was performed by the Finite Differences Method and Central Differencing Scheme (CDS). Correction Scheme (CS), pointwise Gauss-Seidel methods (lexicographic and Red-Black ordering), linewise Gauss-Seidel methods (x- and y-line Gauss-Seidel, x- and y-zebra) was used in the multigrid. The better convergence factor was zebra Gauss-Seidel method in direction x for 0 < ? 1 e and y-zebra-GS for ? 1. Therefore, xy-zebra-GS method, developed in this study, showed efficient and robust for the different anisotropy coefficients. The convergence factors analyzed by LFA and empirically, are in agreement.