Aplicação da técnica multigrid em transferência de calor computacional

Abstract

Resumo: O objetivo deste trabalho é aplicar a técnica multigrid em problemas de transferência de calor buscando seu entendimento e aperfeiçoamento. A técnica multigrid foi desenvolvida no final da década de setenta para acelerar a convergência na obtenção de soluções aproximadas para equações diferenciais utilizando várias malhas, bastante abrangente diante dos vários métodos numéricos conhecidos. Foram investigadas as principais características e estruturas da técnica. Tanto a parte teórica como a aplicada trata de problemas lineares unidimensionais, porém, fundamentos, conceitos e modelos podem ser estendidos para problemas não-lineares e problemas em domínios bidimensionais e tridimensionais. Após apresentação dos fundamentos e conceitos, é apresentada a aplicação da técnica à equação de difusão de calor unidimensional com geração de calor. São apresentados algoritmos e o trabalho é finalizado com resultados e análise de convergência em testes sistemáticos com relação ao aumento do número de malhas, relações entre as malhas de 1:2 e 1:4, quantidade de iterações em cada equação nas fases de restrição e prolongação, e precisão alcançada nas soluções obtidas com o aumento do número de nós na malha mais fina. Os resultados apresentaram a relação entre as malhas de 1:4 verificando a norma usada com redução do tempo de processamento da ordem de 2 a 3 vezes quando comparado à relação de 1:2.

Abstract: The objective of this work is to apply the multigrid technique in heat transfer problems searching knowledge and improvement of the technique. The multigrid technique was developed in the end of seventies with the purpose of accelerating the convergence in obtaining approximate solutions to diferential equations using several mesh levels, quite general comparing with the others numerical methods known. The main characteristics and structures of the technique were investigated. The theoretical part as the applied part were developed to treat one-dimensional linear problems, but, the basis, concepts, and models can be extended to nonlinear problems and problems in dominions of two-dimensions and threedimensions. After the presentation of the basis and concepts, the multigrid technique is applied to one-dimensional heat diffusion equation with the generating of heat. The algorithms are introduced and the work is finalized with the results and analyze of the convergence in systematic tests with relation to the increase of the quantity of meshes, relations between meshes of 1:2 and 1:4, quantities of iterations in each equation in the restriction and prolongation phases, and the accuracy obtained in the solutions with the increase of the number of nodes at the fine mesh. The results demonstrated the relation between the meshes of 1:4 verifying the norm used with a reduction in time processing around of 2 to 3 times when compared with the relation of 1:2.