Seleção do parâmetro da malha de elementos finitos na aproximação de problemas de ondas estacionárias

Abstract

Resumo: Esta tese trata de uma análise numérica capaz de gerar um parâmetro inicial para orientar a discretização malha de elementos finitos, de modo que seja possível controlar os efeitos dispersivos causados pela aproximação de funções/solução de problemas envolvendo ondas acústicas e eletromagnéticas em duas dimensões. Para abordar problemas relacionados com ondas acústicas, onde as condições de contorno são fracamente impostas, é considerado um problema auxiliar, no qual condições de contorno homogêneas são definidas. A versão homogênea permite aproximar funções com suporte, e a partir disso, obter uma solução para o caso geral no que se diz respeito a condições de contorno não homogêneas. Um espaço de elementos finitos de segunda ordem é utilizado para definir funções de base hierárquicas para a aproximação. O resultado dos experimentos apontam para uma dispersão numérica da solução aproximada, sendo assim, se faz necessário um estudo da dispersão discreta. Uma formulação explícita é apresentada para expressar a relação de dispersão discreta associada à ordens superiores de aproximação. Tais formulações são baseadas no método de aproximação de Padé para funções racionais. No estudo da dispersão é revelado que a relação de dispersão discreta pode ser usada para definir a velocidade de fase discreta, e com isso, um parâmetro de refinamento para a malha pode ser obtido de acordo com um erro pré-estabelecido. Esta análise também mostra que a proposta numérica é robusta e pode ser estendida para a elementos finitos de ordens superiores. Além disso, tem-se o caso de problemas envolvendo ondas eletromagnéticas. Para estes, é verificada a construção de um espaço de elementos finitos vetoriais para a aproximação das equações diferenciais do sistema de Maxwell. Os chamados elementos finitos vetoriais de Whitney/Nédélec podem ser usados na aproximação do sistema de Maxwell harmônico no tempo. Inicialmente, são apresentados o sistema de segunda ordem Maxwell harmônico no tempo, bem como, sua formulação variacional. Na sequência, experimentos numéricos são usados para validar a performance dos elementos de Whitney e de Nédélec de primeira ordem em um domínio bidimensional. Dois lemas de correlação admitem a possibilidade de obter-se, a partir da equação de Helmholtz, soluções numéricas para o sistema de Maxwell, e além disso, tal correlação mostra que os efeitos dispersivos gerados pela aproximação por elementos finitos vetoriais podem ser controlados pelos mesmos critérios utilizados no tratamento de ondas acústicas. A relação de dispersão discreta para elementos vetoriais mostra que a velocidade de fase numérica pode ser usada como um estimador de erro para a aproximação numérica.

Abstract: This thesis is a new numerical analysis technique capable of generating an initial parameter to guide the finite element mesh discretization, so that it is possible to control the dispersive effects caused by the approximation of functions/solution of problems involving acoustic and electromagnetic waves in two dimensions. To treat problems related to acoustic waves, where the boundary conditions are weakly imposed it is considered an auxiliary problem in which homogeneous boundary conditions are defined. The homogeneous version allows approximating functions with support, and from this, obtaining a solution for the general case as regards to non-homogeneous boundary conditions. A second-order finite elements space is used to define the hierachical basis functions to the approach. The result of the experiments point to a numerical dispersion of the approximate solution, becoming necessary a study of discrete dispersion. An explicit formulation is presented to express the discrete dispersion relation associated with higher orders of approximation. Such formulations are based on Padé approximant method for rational functions. In the dispersion study it is shown that the discrete dispersion relation can be used to define the discrete phase velocity, and thus a mesh refinement parameter can be obtained in accordance with a predetermined error. This analysis also shows that the numerical proposal is robust and may be extended to higher order finite elements. Furthermore, there is the case of problems involving electromagnetic waves. For these, it is verified the construction of a vector finite element space for the approximation of the Maxwell differential equations system. The so-called Whitney/Nédélec vector finite element, can be used in the time harmonic Maxwell system approximation. Initially, the second-order time harmonic Maxwell system is presented, as well as its variational formulation. Next, numerical experiments are used to evaluate the Whitney elements and the Nédélec first order elements performance, in a two-dimensional domain. Two correlation lemmas admit the possibility of obtaining from the Helmholtz equation numerical solutions for the Maxwell's system. Moreover, this correlation shows that dispersive effects generated by the vectorial finite elements approximation can be controlled by the same criteria used in the treatment of acoustic waves. The discrete dispersion relation for vector finite elements shows that the numerical phase velocity can be used as an error estimator for the numerical approximation.