Identidades de MacWilliams para Códigos Poset

Abstract

Resumo: A classe de códigos mais estudada é a dos códigos lineares. Utilizando a métrica de Hamming conseguimos relacionar o polinômio enumerador de peso deumcódigoC com o do seu código dual (C?) através das identidade de MacWilliams. Busca-se então, derivar tais identidades para códigos lineares utilizando uma métrica não Hamming. Assim, sendo P um poset em [n], apresentamos os resultados que mostram que P admite identidades de MacWilliams se, e somente se, o poset é hierárquico. Além disso, se I (P ) é o conjunto de ideais de ordem de P e E é uma relação de equivalência em I (P ), introduzimos os conceitos de relação dual (E _) de uma relação de equivalência E , distribuição de E -peso (resp. E _-peso) de um P -código linear (resp. seu P -código dual ou P _-código) e o conceito de relação de equivalência de tipo MacWilliams. Três tipos de relações de equivalênciaemI (P ) são apresentadas, as quais são definidas respectivamente pela cardinalidade dos ideais do poset, pela ação dos automorfismos do poset no conjunto de seus ideais, e pela existência de um isomorfismo entre dois ideais e mostramos sob que condições tais relações são de tipo MacWilliams. Além disso, mostramos que quando a relação de equivalência referente aos isomorfismos é de tipoMacWilliams, a mesma coincide com a relação referente aos automorfismos de P . Apresentamos ainda o conceito de _-métrica no espaço das matrizes n _s com entradas em Fq e os conceitos de T e H-enumeradores de pesos para tal caso, relacionando a _-métrica, com a P -métrica e os conceitos de relações de equivalência para um poset P , o qual é uma união disjunta de n cadeias de comprimento s cada uma. Conseguimos assim relacionar os T e H-enumeradores de códigos mutuamente duais utilizando os conceitos de relações de equivalência de tipoMacWilliams. Com isso, mostramos que as matrizes utilizadas para relacionar as distribuições de E - peso e E _-peso são, neste caso, inteiramente determinadas pelos ideais referentes à primeira cadeia do poset P.

Abstract: The most studied class of codes is that of Linear Codes. Using the Hamming metric we are able to relate the weight enumerator polynomial of a code C with its dual code (C?) via the MacWilliams identities. Then, we seek to derive such identities for linear codes using a non Hamming metric. Thus, with P being a poset in [n], we present results showing that P admits MacWilliams identities if, and only if, it is a hierarchical poset. Furthermore, if I (P ) is the set of ordered ideals of P and E is a equivalence relation on I (P ), we introduce the concepts of the dual relation (E _) of a equivalence relation E , E -weigth distribution (resp. E _-weight) of a linear P -code (resp. its dual P -code or P _-code) and the concept ofMacWilliams type equivalence relation. Three types of equivalence relations in I (P ) are presented, which are respectively defined by the cardinality of the ideals of the poset, by the action of automorphisms of the poset on the set of ideals, and the existence of an isomorphism between two ideals and we show the conditions under which such relations are of MacWilliams type. Furthermore, we show that when the equivalence relation associated to the isomorphisms is of MacWilliams type, it coincides with the one regarding the automorphisms of P . We also present the concept of _-metric in the space of matrices n _ s with entries in Fq and the concepts of T and H-weight enumerators for this case, relating the _-metric with the P -metric and the concepts of equivalence relation for the poset P which is the disjoint union of n chains each of length s . Thuswe are able to relate the T andH-enumerators of mutually dual codes using the concepts ofMacWilliams type equivalence relations. Thus, we show that the matrices used to relate the E -weight and E _-weight are, in this case, entirely determined by the ideals of the first chain of the poset P .