Desigualdades ótimas e o problema de Brezis-Nirenberg

Abstract

Resumo: Neste trabalho, estudamos a desigualdade homogênea ótima de Gagliardo- Nirenberg µZ RN |u|rdx ¶1 r 6 A(p, q,N, f) µZ RN f(ru)dx ¶µ p µZ RN |u|qdx ¶1-µ q , onde f : RN ! R é uma função -homogênea, convexa, par e positiva. Obtemos como caso limite desta desigualdade a desigualdade homogênea logarítmica ótima de Sobolev Z RN |u|p log |u|pdx 6 N p log µ A(p,N, f) Z RN f(ru)dx ¶ . Como um caso particular da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg, temos a desigualdade ótima de Sobolev µZ RN |u|2¤dx ¶ 1 2¤ 6 A(2,N) µZ RN |ru|2dx ¶1 2 , nde 2¤ = 2n n-2 . Usando uma função extremal para esta desigualdade rovamos a existência de solução para o problema 8>>>< >>>: -¢u = u2¤-1 + ¸u, em ­, u > 0, em ­, u = 0, sobre @­, que é conhecido como problema de Brezis-Nirenberg.

Abstract: In this work we study the homogeneous inequality optimal Gagliardo-Nirenberg µZ RN |u|rdx ¶1 r 6 A(p, q,N, f) µZ RN f(ru)dx ¶µ p µZ RN |u|qdx ¶1-µ q , where f : RN ! R is a p-homogeneous, convex, ven and positive function. We obtain as limit case of this inequality, the homogeneous optimal logarithmic Sobolev inequality Z RN |u|p log |u|pdx 6 N p log µ A(p,N, f) Z RN f(ru)dx ¶ . As a special case of gliardo-Nirenberg inequality, we have the optimal Sobolev inequality µZ RN |u|2¤dx ¶ 1 2¤ 6 A(2,N) µZ RN |ru|2dx ¶1 2 , where 2¤ = 2n n-2 . Using an extremal function for this inequality, we prove the existence of solution to the problem 8>>>< >>>: -¢u = u2¤-1 + ¸u, em ­, u > 0, em ­, u = 0, sobre @­, known as a problem of Brezis-Nirenberg. Keywords: homogeneous inequalities, optimal Sobolev constant, concentration compactness, and problem of Brezis-Nirenberg.