Dinâmica de redes de mapas acoplados

Abstract

Resumo: Neste trabalho são abordados essencialmente dois problemas ligados à dinâmica espaço-temporal de redes de sistemas dinâmicos discretos (mapas) acoplados em uma rede unidimensional (redes de mapas acoplados). Em ambos os problemas, a dinâmica temporal dos mapas exibe caos determinístico, ou seja, há um comportamento aperiódico com dependência sensível às condições iniciais. O elo que une ambos os problemas é a existência de alguma forma de sincronização. Além disso, as redes de mapas acoplados que consideramos têm interações não-locais, nas quais a intensidade do acoplamento decai com a distância entre os mapas na rede na forma de uma lei de potência. Os casos-limite dessa forma de acoplamento recaem nos casos bem-estudados na literatura de acoplamentos entre primeiros vizinhos (local) e do tipo campo-médio (global). O expoente da lei de potência caracteriza o alcance efetivo do acoplamento. No primeiro problema, estudamos a chamada intermitência "liga-desliga", que ocorre em sistemas acoplados que exibem sincronização completa de caos. No espaço de fase de uma rede de mapas unidimensionais acoplados, o estado sincronizado corresponde a um sub-espaço invariante unidimensional. A intermitência liga-desliga ocorre quando uma trajetória não-sincronizada aproxima-se do sub-espaço sincronizado durante um certo intervalo de tempo (intervalo laminar) e é posteriormente ejetada para longe deste sub-espaço, para retornar à sua vizinhança após um outro intervalo de tempo. Nós investigamos as características estatísticas dos intervalos de tempo laminares, obtendo uma dependência do tipo lei de potência. Em alguns casos, obtivemos evidências de um expoente universal para a intermitência "liga-desliga" (3/2). No segundo problema, abordamos um modelo computacional para redes de neurônios, onde o acoplamento é do tipo lei de potência, o que é sugerido pela alta conectividade de neurônios no córtex cerebral. Para modelar a dinâmica local dos neurônios nós empregamos um mapa bidimensional devido a Rulkov, que leva em conta a existência de duas escalas de tempo para a atividade neuronal: (i) uma escala rápida, que descreve os disparos (picos) do potencial de ação neuronal; (ii) uma escala lenta, que descreve as sequências de disparos (estouros). Nós associamos uma fase geométrica para a evolução do potencial de ação, e estudamos numericamente a sincronização de fase e de frequência para neurônios acoplados com uma ligeira diferença em seus parâmetros. Finalmente, investigamos a possibilidade de se controlar o estado sincronizado dos neurônios a partir da aplicação de um sinal harmônico externo, inspirados nas experiências de estimulação profunda do cérebro com sinais elétricos de baixa potência, usados para o controle de ritmos neurológicos indesejados, como tremores e mal de Parkinson.

Abstract: In this work we deal with essentially two problems related to the spatio temporal dynamics of lattices of discrete dynamical systems (maps) coupled in a one-dimensional lattice (coupled map lattices). In both problems, the temporal dy namics of the maps exhibits deterministic chaos, i.e. there is an aperiodic behaviour with sensitive dependence to the initial conditions. The link connecting both prob lems is the existence of some form of synchronization. Moreover, the coupled map lattices we deal with have nonlocal interactions, for which the coupling strength de creases with the distance between maps in a power-law fashion. The limiting cases of this kind of coupling fall into the well-studied cases of nearest-neighbor (local) cou pling and mean-field (global) coupling. The exponent of the power law characterizes the effective range of the coupling. In the first problem, we study the so-called "on-off" intermittency, which occurs in coupled systems exhibiting complete syn chronization of chaos. In the phase-space of a lattice of coupled one-dimensional maps, the synchronized state corresponds to an invariant one-dimensional subspace. On-off intermittency occurs when a non-synchronized trajectory approaches the syn chronization subspace during a certain time interval (laminar time) and it is ejected away from it, to eventually return to its vicinity after another time interval. We investigate the statistics of the laminar times, obtaining a power-law dependence. In some cases, we obtained evidence in favour of an universal (3/2) exponent for "on-off" intermittency. In the second problem, we present a computational model for neuronal networks, where the coupling is of the power-law type, as suggested by the high connectivity of neurons in the cortex brain. In order to model the local dynamics of the neurons we use a two-dimensional map due to Rulkov, which takes into account the existence of two timescales for the neural activity: (i) a fast scale, describing the spiking behavior of the membrane action potential; (ii) a slow scale, de scribing the bursts, or sequences of spikes. We introduce a geometrical phase for the action potential time evolution, and we study numerically the phase and frequency synchronization for coupled neurons with slightly different parameters. Finally, we investigate the possibility to control the synchronized state of neurons from applying an external time-periodic driving term, inspired in the deep-brain stimulation expe riences with low-power electric signals used to control abnormal neuronal rhythms as tremors and Parkinson disease.