A transição do regime de caos para caos espaço-temporal em modelos de interação de ondas

Abstract

Resumo: O estudo da transição caos espaço-temporal em sistemas dinâmicos é um tópico que tem atraído muita atenção nestes últimos tempos. Estes sistemas apresentam diversas aplicações em biologia, engenharia e física. Acredita-se que a transição para caos-espaço temporal nestes sistemas possa ser uma peça fundamental na compreensão da formação de estados turbulentos. Dentre os diversos sistemas dinâmicos possíveis, aqui estudamos especificamente interações onda-onda. Estas interações envolvem ondas não lineares de alta frequência que são fenômenos comuns em uma variedade de circunstâncias. Tais processos ocorrem em diversas situações físicas. Exemplos disto podem ser encontrados em ótica não linear, plasmas espaciais e experimentos de plasma em laboratórios. Uma das interações onda-onda mais estudadas é o bem conhecido acoplamento tripleto-tripleto, chamado de processo de quatro ondas, onde cada tripleto compartilha duas ondas em comum. Em um regime fracamente não-linear, devido as interações não-lineares serem quadráticas, as amplitudes das ondas desenvolvem lentas modulações no espaço/tempo, as quais são mais lentas do que as altas frequências das ondas envolvidas. Neste caso podemos obter equações simplificadas descrevendo a dinâmica da lenta variação das amplitudes das ondas. A dinâmica espaço-temporal apresentada pelas equações das amplitudes das interações destes tripletos é o tópico principal desta tese. Mostraremos que o início do caos espaço-temporal deste sistema está a relacionado com o processo chamado intermitência on-off. Além destes processos que ocorrem no sistema espaço-temporal, veremos que na dinâmica puramente temporal do modelo de quatro ondas conservativo, ocorrem aprisionamentos para determinadas trajetórias por longos períodos de tempo. Tais aprisionamentos são características de sistemas Hamiltonianianos com dois graus de liberdade. Usaremos o mapa padrão para ilustrar que estas características são fortemente evidenciadas pelo cálculo do expoente de Lyapunov a tempo finito.

Abstract: The study of the transition spatio-temporal chaos in dynamical systems is a topic that has attracted much attention in recent times. These systems have various applications in biology, engineering and physics. It is believed that the transition to space-temporal chaos in these sys tems can be a key to understanding the formation of turbulent states. Among the many different dynamical systems possible, here it is specifically studied wave-wave interactions. These inte ractions involve non-linear waves of high frequency, witch are common phenomena in a variety of circumstances. Such processes can be seen occurring in different physical situations. Exam ples can be found in the non-linear optics, space plasma and plasma experiments in laboratories. One of the wave-wave interactions studied is most well-known coupling triplet-triplet, called process of four waves, where each triplet share two waves in common. In a weakly nonli near regime, due to the quadratic nonlinear interactions, the amplitudes of the waves develop slow modulations in the space / time such that they are slower than the high frequency waves involved. In this case we can get simplified equations describing the dynamics of the slow variation of the amplitudes of the waves. The spatial-temporal dynamics equations presented by the amplitudes of the interactions of these triplets is the main topic of this thesis. We will show that the onset of spatio-temporal chaos in this system is related to the process called on off intermittency. In addition to these processes that occur in the time-space, we will see that in purely temporal dynamics of the conservative model of four waves do occur trappings for certain trajectories for long periods of time. Such trappings are characteristics of Hamiltonian systems with two degrees of freedom. We will use the standard map to illustrate that these characteristics are strongly highlighted by the calculation of the finite time Lyapunov exponent.