Teorema da Forma Espacial para Superfícies

Abstract

Resumo: Com a descoberta da geometria riemanniana, surgiu o interesse em classificar variedades munidas com uma métrica riemanniana que tivessem curvatura constante. O objetivo central deste trabalho é estudar um teorema de classificação para o caso bidimensional - o Teorema de Killing-Hopf - que garante que uma forma espacial com curvatura constante é localmente isométrica ao plano hiperbólico, ao plano euclidiano ou à esfera unitária. O texto discorre sobre os conceitos iniciais de geometria riemanniana para superfícies, bem como elenca definições e resultados para curvatura, geodésicas, mapa exponencial e completude de uma superfície, para enfim apresentar o teorema em questão e sua demonstração

Abstract: The discovery of Riemannian geometry guided to an interest in classifying manifolds equipped with a Riemannian metric and that had constant curvature. This work aims to study a classification theorem for the two-dimensional case — the Killing- Hopf Theorem — which guarantees that a space form with constant curvature is locally isometric to the hyperbolic plane, the Euclidean plane or the unit sphere. The text introduces initial concepts of Riemannian geometry for surfaces and exhibits definitions and results for curvature, geodesics, exponential map and completeness of a surface, to finally present the theorem and its proof